知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知\(α\)为锐角，且\(\tan α= \dfrac {1}{3}\)，求\(\sin 2α\)的值．
小娟是这样解决的：
如图\(1\)，在\(⊙O\)中，\(AB\)是直径，点\(C\)在\(⊙O\)上，\(∠BAC=α\)，所以\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(\tan α= \dfrac {BC}{AC}= \dfrac {1}{3}\)．
易得\(∠BOC=2α.\)设\(BC=x\)，则\(AC=3x\)，则\(AB= \sqrt {10}x.\)作\(CD⊥AB\)于\(D\)，求出\(CD=\) ______ \((\)用含\(x\)的式子表示\()\)，可求得\(\sin 2α= \dfrac {CD}{OC}=\) ______ ．
【问题解决】
已知，如图\(2\)，点\(M\)、\(N\)、\(P\)为圆\(O\)上的三点，且\(∠P=β\)，\(\tan β= \dfrac {1}{2}\)，求\(\sin 2β\)的值．

难度：易

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2．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(BC=a\)，\(AC=b\)，\(AB=c\)，\(⊙D\)与\(BC\)、\(AC\)、\(AB\)都相切，切点分别是\(E\)、\(F\)、\(G\)，\(BA\)、\(ED\)的延长线交于点\(H\)，\(a\)、\(b\)是关于\(x\)的方程\(x^{2}-(c+4)x+4c+8=0\)的两个根．
\((1)\)求证：\(\triangle ABC\)是直角三角形；
\((2)\)若\(25a\sin ∠BAC=9c\)，求四边形\(CEDF\)的面积．

难度：易

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3．
已知：如图，\(BD\)为\(⊙O\)的直径，点\(A\)是劣弧\(BC\)的中点，\(AD\)交\(BC\)于点\(E\)，连接\(AB\)．
\((1)\)求证：\(AB^{2}=AE⋅AD\)；
\((2)\)过点\(D\)作\(⊙O\)的切线，与\(BC\)的延长线交于点\(F\)，若\(AE=2\)，\(ED=4\)，求\(EF\)的长．

难度：易

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4．
已知一次函数\(y=-2x+4\)的图象与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于点\(A\)、\(B\)，以\(AB\)为边在第一象限内作直角三角形\(ABC\)，且\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(\tan ∠ABC= \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求点\(C\)的坐标；
\((2)\)在第一象限内有一点\(M(1,m)\)，且点\(M\)与点\(C\)位于直线\(AB\)的同侧，使得\(2S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ABC}\)，求点\(M\)的坐标．

难度：易

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5．

如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle ACB=90{}^\circ \)，\(CD⊥AB\)于点\(D\)，\(BE⊥AB\)于点\(B\)，\(BE=CD\)，连接\(CE\)，\(DE\)．

\((1)\)求证：四边形\(CDBE\)为矩形；

\((2)\)若\(AC=2\)，\(\tan \angle ACD=\dfrac{1}{2}\)，求\(DE\)的长．

难度：易

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6．
定义概念：如图，在直角三角形\(ABC\)中，锐角\(α\)的对边与斜边的比叫做角\(α\)的正弦，记作\(\sin α\)，即\(\sin α= \dfrac {{角}α{的对边}}{{斜边}}= \dfrac {BC}{AB}\)，根据上述角的正弦的概念，解答下列问题：在\(Rt\triangle ABC\)中，
\((1)\)当\(AC=12\)，\(AB=13\)时，求\(\sin α\)的值；
\((2)\)当\(α=30^{\circ}\)，\(AB=20\)时，则\(BC=\) ______ ．

难度：易

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7．

如图，\(AB\)为\(⊙O\)直径，\(C\)、\(D\)为\(⊙O\)上不同于\(A\)、\(B\)的两点，\(∠ABD=2∠BAC\)，连接\(CD.\)过点\(C\)作\(CE⊥DB\)，垂足为\(E\)，直线\(AB\)与\(CE\)相交于\(F\)点．

\((1)\)求证：\(CF\)为\(⊙O\)的切线；

\((2)\)当\(BF=5\)，\(\sin F=\dfrac{3}{5}\)时，求\(⊙O\)的半径．

难度：易

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8．如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(∠ABC=30^{\circ}\)，\(BC=2 \sqrt {3}\)，以\(AC\)为边在\(\triangle ABC\)的外部作等边\(\triangle ACD\)，连接\(BD\)．
\((1)\)求四边形\(ABCD\)的面积；
\((2)\)求\(BD\)的长．

难度：易

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9．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(∠ABC=90^{\circ}\)，以\(AB\)为直径的\(⊙O\)交\(AC\)于\(D.\) \(E\)为弧\(AD\)上一点，连结\(AE\)，\(BE\)，\(BE\)交\(AC\)于点\(F\)，且\(AE^{2}=EF⋅EB\)
\((1)\)求证：\(E\)是弧\(AD\)的中点；
\((2)\)求证：\(CB=CF\)；
\((3)\)若点\(E\)到弦\(AD\)的距离为\(1\)，\(\cos ∠C= \dfrac {3}{5}\) 求\(⊙O\)的半径．

难度：易

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10．

如图，在\(\triangle \)\(ABC\)中，\(∠\)\(C\)\(=90^{0}\)，\(CD\)\(⊥\)\(AB\)于\(D\)，

\((1)\)求证：\(\tan \) \(A\)\(= \dfrac{BD}{CD} \)；
\((2)\)若 \(AD\)\(=4\)， \(CD\)\(=2\)，求： \(AB\)的值．

难度：易

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