知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，过点\(P(0,2)\)作直线\(l\)：\(y= \dfrac {1}{2}x+b(b\)为常数且\(b < 2)\)的垂线，垂足为点\(Q\)，则\(\tan ∠OPQ=\) ______ ．

难度：易

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2．
【阅读学习】
刘老师提出这样一个问题：已知\(α\)为锐角，且\(\tan α= \dfrac {1}{3}\)，求\(\sin 2α\)的值．
小娟是这样解决的：
如图\(1\)，在\(⊙O\)中，\(AB\)是直径，点\(C\)在\(⊙O\)上，\(∠BAC=α\)，所以\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(\tan α= \dfrac {BC}{AC}= \dfrac {1}{3}\)．
易得\(∠BOC=2α.\)设\(BC=x\)，则\(AC=3x\)，则\(AB= \sqrt {10}x.\)作\(CD⊥AB\)于\(D\)，求出\(CD=\) ______ \((\)用含\(x\)的式子表示\()\)，可求得\(\sin 2α= \dfrac {CD}{OC}=\) ______ ．
【问题解决】
已知，如图\(2\)，点\(M\)、\(N\)、\(P\)为圆\(O\)上的三点，且\(∠P=β\)，\(\tan β= \dfrac {1}{2}\)，求\(\sin 2β\)的值．

难度：易

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3．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(BC=a\)，\(AC=b\)，\(AB=c\)，\(⊙D\)与\(BC\)、\(AC\)、\(AB\)都相切，切点分别是\(E\)、\(F\)、\(G\)，\(BA\)、\(ED\)的延长线交于点\(H\)，\(a\)、\(b\)是关于\(x\)的方程\(x^{2}-(c+4)x+4c+8=0\)的两个根．
\((1)\)求证：\(\triangle ABC\)是直角三角形；
\((2)\)若\(25a\sin ∠BAC=9c\)，求四边形\(CEDF\)的面积．

难度：易

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4．
已知：如图，\(BD\)为\(⊙O\)的直径，点\(A\)是劣弧\(BC\)的中点，\(AD\)交\(BC\)于点\(E\)，连接\(AB\)．
\((1)\)求证：\(AB^{2}=AE⋅AD\)；
\((2)\)过点\(D\)作\(⊙O\)的切线，与\(BC\)的延长线交于点\(F\)，若\(AE=2\)，\(ED=4\)，求\(EF\)的长．

难度：易

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5．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC=5\)，\(BC=8.\)若\(∠BPC= \dfrac {1}{2}∠BAC\)，则\(\sin ∠BPC=\) ______ ．

难度：易

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6．
已知一次函数\(y=-2x+4\)的图象与\(x\)轴、\(y\)轴分别交于点\(A\)、\(B\)，以\(AB\)为边在第一象限内作直角三角形\(ABC\)，且\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(\tan ∠ABC= \dfrac {1}{2}\)．
\((1)\)求点\(C\)的坐标；
\((2)\)在第一象限内有一点\(M(1,m)\)，且点\(M\)与点\(C\)位于直线\(AB\)的同侧，使得\(2S_{\triangle ABM}=S_{\triangle ABC}\)，求点\(M\)的坐标．

难度：易

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