知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

4．

阅读材料：

我们定义：如果一个数的平方等于\(−1 \)，记作\({i}^{2}=−1 \)，那么这个\(i\)就叫做虚数单位\(.\) 虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数\(.\) 一个复数可以表示为\(a+bi (a,b\)均为实数\()\)的形式，其中\(a\)叫做它的实部，\(b\)叫做它的虚部．

复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似．

例如计算：\((5+i)+(3−4i)=(5+3)+(i−4i)=8−3i. \)

根据上述材料，解决下列问题：

\((1)\)填空：\({i}^{3}= \)_____，\({i}^{4}= \)_____；

\((2)\)计算：\({(2+i)}^{2} \)；

\((3)\)将\( \dfrac{1+i}{1−i} \)化为\(a+bi (a,b\)均为实数\()\)的形式\((\)即化为分母中不含\(i\)的形式\()\)．

难度：较易

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5．

下列计算正确的是\((\)　　\()\)

A．\((a-b)^{2}=a^{2}-b^{2}\)

B．\(x+2y=3xy\)

C．\( \sqrt {18}-3 \sqrt {2}=0\)

D．\((-a^{3})^{2}=-a^{6}\)

难度：较易

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6．
在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式．
比如：\(4-2 \sqrt {3}=3-2 \sqrt {3}+1=( \sqrt {3})^{2}-2× \sqrt {3}×1+1^{2}=( \sqrt {3}-1)^{2}.\)善于动脑的小明继续探究：
当\(a\)，\(b\)，\(m\)，\(n\)为正整数时，若\(a+ \sqrt {2}b=( \sqrt {2}m+n)^{2}\)，则有\(a+ \sqrt {2}b=(2m^{2}+n^{2})+2 \sqrt {2}mn\)，所以\(a=2m^{2}+n^{2}\)，\(b=2mn\)．
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
\((1)\)当\(a\)，\(b\)，\(m\)，\(n\)为正整数时，若\(a+ \sqrt {3}b=( \sqrt {3}m+n)^{2}\)，请用含有\(m\)，\(n\)的式子分别表示\(a\)，\(b\)，得：\(a=\) ______ ，\(b=\) ______ ；
\((2)\)填空：\(13-4 \sqrt {3}=( \)______ \(-\) ______ \( \sqrt {3})^{2}\)；
\((3)\)若\(a+6 \sqrt {5}=(m+ \sqrt {5}n)^{2}\)，且\(a\)，\(m\)，\(n\)为正整数，求\(a\)的值．

难度：较易

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7．
若\(x^{2}+mx+16\)是完全平方式，则\(m\)的值是 ______ ．

难度：较易

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8．
计算或化简
\((1)( \dfrac {1}{2})^{-1}+| \sqrt {3}-2|+\tan 60^{\circ}\)
\((2)(2x+3)^{2}-(2x+3)(2x-3)\)

难度：较易

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9．
南宋杰出的数学家杨辉，杭州人，在他\(1261\)年所著的\(《\)详解九章算法\(》\)一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称杨辉三角．
\((1)\)请看杨辉三角，根据规律在横线上填上第八行数： ______
\((2)\)观察下列各式及其展开式，其各项系数与杨辉三角有关：
\((a+b)^{0}=1\)
\((a+b)=a+b\)
\((a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\((a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\)
\((a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\)
\(…\)
根据前面各式的规律，则\((a+b)^{6}=\) ______
\((3)\)请你猜想\((a+b)^{10}\)的展开式第三项的系数是 ______ ．

难度：较易

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10．

若\(x^{2}-kx+4\)是一个完全平方式，则\(k\)的值是\((\)　　\()\)

A．\(2\)

B．\(4\)

C．\(-4\)

D．\(4\)或\(-4\)

难度：较易

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