知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是\(\triangle ABC\)的三边，且\(a^{4}-a^{2}c^{2}=b^{4}-b^{2}c^{2}\)，那么\(\triangle ABC\)的形状是 ______ ．

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2．
若整数\(a\)能被整数\(b\)整除，则一定存在整数\(n\)，使得\( \dfrac {a}{b}=n\)，即\(a=bn\)，例如：若整数\(a\) 能被\(101\)整除，则一定存在整数\(n\)，使得\( \dfrac {a}{101}=n\)，即\(a=101n\)，一个能被\(101\)整除的自然数我们称为“孪生数”，他的特征是先将数字每两个分成一组，然后计算奇数组之和与偶数组之和的差，如果差能被\(101\)整除，则这个数能被\(101\)整除，否则不能整除\(.\)当这个数字是奇数位时，需将这个数末位加一个\(0\)，变为偶数再来分组\(.\)例如：自然数\(66086421\)，先分成\(66\)，\(08\)，\(64\)，\(21.\)然后计算\(66+64-(8+21)=101\)，能被\(101\)整除，所以\(66086421\)能被\(101\)整除；自然数\(10201\)先加\(0\)，变为\(102010\)再分成\(10\)，\(20\)，\(10\)，然后计算\(10+10-20=0\)，能被\(101\)整除，所以\(10201\)能被\(101\)整除．
\((1)\)请你证明任意一个四位“孪生数”均满足上述规律；
\((2)\)若七位整数\( \overset{ .}{175m6n2}\)能被\(101\)整除，请求出所有符合要求的七位整数．

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3．
若\(a-b=2\)，\(a^{2}-b^{2}=3\)，则\(a+b=\) ______ ．

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4．
进位数是一种记数方式，可以用有限的数字符号代表所有的数值，使用数字符号的数目称为基数，基数为\(n\)，即可称\(n\)进制\(.\)现在最常用的是十进制，通常使用\(10\)个阿拉伯数字\(0～9\)进行记数，特点是逢十进一，对于任意一个用\(n(n\leqslant 10)\)进制表示的数，通常使用\(n\)个阿拉伯数字\(0～(n-1)\)进行记数，特点是逢\(n\)进一，我们可以通过以下方式把它转化为十进制：
例如：五进制数\((234)_{5}=2×5^{2}+3×5+4=69\)，记作\((234)_{5}=69\)，
七进制数\((136)_{7}=1×7^{2}+3×7+6=76\)，记作\((136)_{7}=76\)
\((1)\)请将以下两个数转化为十进制：\((331)_{5}=\) ______ ，\((46)_{7}=\) ______
\((2)\)若一个正数可以用七进制表示为\(( \overset{ .}{abc})\)，也可以用五进制表示为\( \overset{ .}{(cba)_{5}}\)，请求出这个数并用十进制表示．

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5．
一个多位数整数，\(a\)代表这个整数分出来的左边数，\(b\)代表这个整数分出来的右边数，其中\(a\)，\(b\)两部分数位相同，若\( \dfrac {a+b}{2}\)正好为剩下的中间数，则这个多位数就叫平衡数，
例如：\(357\)满足\( \dfrac {3+7}{2}=5\)，\(233241\)满足\( \dfrac {23+41}{2}=32\)．
\((1)\)写出一个三位平衡数和一个六位平衡数，并证明任意一个六位平衡数一定能被\(3\)整除；
\((2)\)若一个三位平衡数后两位数减去百位数字之差为\(3\)的倍数，且这个平衡数为偶数，求这个三位数．

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6．
在实数范围内分解因式：
\((1)9a\) \({\,\!}^{4}-4b\) \({\,\!}^{4}\)；
\((2)x\) \({\,\!}^{2}-2\) \( \sqrt {3}x+3\)．

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