知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线上的点，且CD∥x轴，点E是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将△BCD的面积分为相等的两部分？
（3）点F在线段CD上，若以点C，E，F为顶点的三角形与△COE相似，试求点F的坐标．

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-3x的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求A点和顶点C的坐标；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．

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3．将抛物线y=x²-1向左平移2个单位得到抛物线C₁，抛物线C₁与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其顶点为M．
（1）求A，B，M点的坐标；
（2）将图1中△AOC沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△AMC重叠的面积记为s，用m的代数式表示s．
（3）如图2，设S（-2，0），过点S任作直线EF交抛物线C₁于E，F两点，点P为EF的中点，求证：PF=PM．

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4．（2014•河北模拟）如图，已知过点（0，-
1
4
）的抛物线C₁：y=ax²+bx+c的顶点为Q（1，0），现将该抛物线上所有点的纵坐标加h（h＞0），横坐标不变，得到新的抛物线，记为C₂，在y轴的负半轴作一条平行于x轴的直线，与两条抛物线交于A、B、C、D四点，直线AD与x轴的距离是m²（m＞0）
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）当h=4时，设抛物线C₂与x轴的正半轴交于点E，过点E作x轴的垂线，交直线y=x+1于点F，点P在抛物线C₂上，如果要求S_△EFP≤6时，求点P横坐标x_p的取值范围；
（3）作抛物线C₁的对称轴，与直线AD交于点M，与抛物线C₂交于点N，若点A，C关于y轴对称，求tan∠MDN与tan∠MCQ的比值（用含m的代数式表示）

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5．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=-
3
4
x+6交y轴于点A，交x轴于点C，点B在线段OA上，且△ABC的面积为16，抛物线y=-
1
4
x²+bx+c经过B、C两点；
（1）C点坐标为；B点坐标为；
（2）求抛物线解析式；
（3）D为线段OC上一点，连接AD，过点D作DE⊥AD交抛物线于E，若
AD
DE
=
3
2
，求E点坐标；
（4）在（3）的条件下，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AMN，其中点D与点M对应，点E与点N对应，在旋转过程中过点M作MH⊥y轴交线段OA于H，连接NH，当NH平分AM时，求M点坐标，并判断点M是否在抛物线上．

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6．如图，直线l：y=
3
3
x+3与x轴交于点A；若将抛物线y=
1
3
x²平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．
（1）若抛物线沿y轴进行上下平移，且平移后的抛物线C与x轴相交于M、N点，当MN=2
3
时，求此时抛物线的顶点P的坐标；
（2）若抛物线沿x轴进行左右平移，且平移后的抛物线C与y轴交于点E，与直线l交于两点，其中一个交点为F，当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；
（3）若抛物线沿x轴进行左右平移，在抛物线y=
1
3
x²平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

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7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
1
2
x-2与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线解析式为y=x²+bx+c．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上第一象限部分上一点，当S_△ABE=10时，求点E的坐标；
（3）F为直线AB下方抛物线上一点，连接AF，当∠FAB=∠BAO时，求F点坐标．

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8．已知二次函数y=x²+bx+c，（c＜0）的图象与x轴的交点分别为A、B，与y轴的交点为C，设△ABC的外接圆的圆心为点P．
（1）证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点；
（2）如果AB恰好为⊙P的直径且S_△ABC=2，求b和c的值．

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