知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图1，菱形ABCD中，CH⊥AB，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．

（1）求DM的长；
（2）如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P在边AB上运动时，是否存在这样的t的值，使∠MPB与∠BCD互为余角？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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2．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-3x的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求A点和顶点C的坐标；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大？若存在，求出△POB的最大面积；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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3．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．

（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，写出关系式不证明；
（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置，
①求证：∠ACD=∠A′C′D；
②（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

难度：较易

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4．如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，sin∠ABC=
12
13
．
填空：（1）如图1，AH⊥BC于点H，则AH=    ，AC=    ，△ABC的面积S_△ABC=    ；
探究：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE+CF=y（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABC=0）
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，这样的x的取值范围是    ．
拓展：（4）请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），则这条直线是    ，此时最小值是    ．

难度：较易

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5．（2013秋•瑶海区期中）已知：如图，直线y=kx+b与x轴y轴分别交于点E，F，点E，F的坐标为（8，0），（0，6），点A的坐标为（6，0）．
（1）求直线EF的函数关系式；
（2）若点P（x，y）是第一象限内的直线y=kx+b上的一个动点，当点P运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．

难度：较易

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6．如图，公路上A、B两站相距25km，在公路AB附近有C、D两学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B．已知DA=15km，CB=10km，现要在公路上建设一个青少年活动中心E，要使得C、D两学校到E的距离相等，则E应建在距A多远处？

难度：较易

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