已知：如图，在四边形\(ABCD\)中，\(AB⊥BD\)，\(AD/\!/BC\)，\(∠ADB=45^{\circ}\)，\(∠C=60^{\circ}\)，\(AB=\sqrt{6} \)．求四边形\(ABCD\)的周长．

如图，\(AB\)是\(⊙O\)的直径，\(CD\)为\(⊙O\) 的弦，过点\(B\)作\(⊙O\)的切线，交\(AD\)的延长线于点\(E\)，连接\(AC\)并延长，过点\(E\)作\(EG⊥AC\)的延长线于点\(G\)，并且\(∠GCD= ∠GAB\)．

\((1)\)求证：\(\overset\frown{AC}=\overset\frown{BD}\)；

\((2)\)若\(AB=10\)，\(\sin ∠ADC=\dfrac{3}{5}\)，求\(AG\)的长．

已知：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，以\(AC\)为直径作\(⊙O\)交\(BC\)于点\(D\)，过点\(D\)作\(⊙O\)的切线交\(AB\)于点\(E\)，交\(AC\)的延长线于点\(F\)．

\((1)\)求证：\(DE⊥AB\)；

\((2)\)若\(\tan ∠BDE= \dfrac{1}{2} \)， \(CF=3\)，求\(DF\)的长．

如图，\(A\)，\(B\)，\(E\)为\(⊙O\)上的点，\(⊙O\)的半径\(OC⊥AB\)于点\(D\)，已知\(∠CEB=30^{\circ}\)，\(OD=1\)，则\(⊙O\)的半径为

如图，在\(\triangle ABC\)中， \(AB=AC\)，\(BD⊥AC\)于点\(D.AC=10\)，\(\cos A=\dfrac{4}{5}\)，求\(BC\)的长．

如图，\(AB\)为\(⊙O\)的直径，\(C\)、\(F\)为\(⊙O\)上两点，且点\(C\)为弧\(BF\)的中点，过点\(C\)作\(AF\)的垂线，交\(AF\)的延长线于点\(E\)，交\(AB\)的延长线于点\(D\)．

\((1)\)求证：\(DE\)是\(⊙O\)的切线；

\((2)\)如果半径的长为\(3\)，\(\tan D=\dfrac{3}{4}\)，求\(AE\)的长．

如图，木杆\(AB\)斜靠在墙壁上，\(∠OAB=30{}^\circ \)，\(AB=4\)米\(.\)当木杆的上端\(A\)沿墙壁\(NO\)下滑时，木杆的底端\(B\)也随之沿着地面上的射线\(OM\)方向滑动\(.\)设木杆的顶端\(A\)匀速下滑到点\(O\)停止，则木杆的中点\(P\)到射线\(OM\)的距离\(y(\)米\()\)与下滑的时间\(x(\)秒\()\)之间的函数图象大致是

在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(M(1,1)\)，\(N(1,-1)\)，经过某点且平行于\(OM\)、\(ON\)或\(MN\)的直线，叫该点关于\(\triangle OMN\)的“关联线”．

例如，如图\(1\)，点\(P(3,0)\)关于\(\triangle OMN\)的“关联线”是： \(y=x+3\)，\(y=-x+3\)，\(x=3\)．

\((1)\)在以下\(3\)条线中，_____是点\((4,3)\)关于\(\triangle OMN\)的“关联线”\((\)填出所有正确的序号\()\)；

\(①x=4\)；  \(②y=-x-5\)；  \(③y=x-1\) ．

\((2)\)如图\(2\)，抛物线\(y=\dfrac{1}{4}{{(x-m)}^{2}}+n\)经过点\(A(4,4)\)，顶点\(B\)在第一象限，且\(B\)点有一条关于\(\triangle OMN\)的“关联线”是\(y= -x+5\)，求此抛物线的表达式；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，过点\(A\)作\(AC⊥x\)轴于点\(C\)，点\(E\)是线段\(AC\)上除点\(C\)外的任意一点，连接\(OE\)，将\(\triangle OCE\)沿着\(OE\)折叠，点\(C\)落在点\(C′\)的位置，当点\(C′\)在\(B\)点关于\(\triangle OMN\)的平行于\(MN\)的“关联线”上时，满足\((2)\)中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在\(OE\)上？