知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
阅读材料，求\(1+2^{-1}+2-2+…+2^{-2016}\)的值．

解：设\(S=1+2^{-1}+2^{-2}+…+2^{-2016}\)，\(①\)

则\(2S=2+1+2^{-1}+…+2^{-2015}\)，\(②\)

\(②-①\)得\(S=2-2^{-2016}\)．

请你仿此计算：

\((1)1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-2016}\)；

\((2)1+3^{-1}+3^{-2}+…+3^{-n}\)．

难度：较难

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2．
阅读下面的材料，解答下列问题：

我国宋朝数学家杨辉在他的著作\(《\)详解九章算法\(》\)中提出“杨辉三角”\((\)如图\()\)，此图揭示了\({{\left( a+b \right)}^{n}}(n\)为非负整数\()\)展开式的项数及各项系数的有关规律。
\({\left(a+b\right)}^{1}=a+b,{\left(a+b\right)}^{2}={a}^{2}+2ab+{b}^{2},{\left(a+b\right)}^{3}={a}^{3}+3{a}^{2}b+3a{b}^{2}+{b}^{3}. \)

根据以上规律，解答下列问题：

\((1){{\left( a+b \right)}^{4}}\)展开式共有___项，第二项系数为___；系数和为___。

\((2)\)根据上述规律，将\({{\left( a+b \right)}^{5}}\)展开

\((3)\)利用上述规律计算：\({{99}^{3}}+3\times {{99}^{2}}+3\times 99+1\)

难度：较难

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3．

已知点\(P(-3a-4,2+a)\)，解答下列各题：

\((1)\)若点\(P\)在\(x\)轴上，则点\(P\)的坐标为\(P\)________；

\((2)\)若\(Q(5,8)\)，且\(PQ/\!/y\)轴，则点\(P\)的坐标为\(P\)________；

\((3)\)若点\(P\)在第二象限，且它到\(x\)轴、\(y\)轴的距离相等，求\(a^{2018}+2018\)的值．

难度：较难

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4．阅读材料：求\(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2013}\)的值．
解：设\(S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2013}\)，将等式两边同时乘以\(2\)得：\(2S=2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+…+2^{2013}+2^{2014}\)
将下式减去上式得\(2S-S=2^{2014}-1\)
即\(S=2^{2014}-1\)
即\(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…=2^{2014}-1\)
请你仿照此法计算：
\((1)1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{20}\)
\((2)1+5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+…+5^{n}(\)其中\(n\)为正整数\()\)．

难度：较难

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5．

阅读材料：求\(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{17}\)的值．
解：设\(S=1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2016}+2^{2017}\)，
等式两边同时乘\(2\)得： \(2S=2++2\)\({\,\!}^{2}\) \(+2\)\({\,\!}^{3}\) \(+2\)\({\,\!}^{4}\) \(+2\)\({\,\!}^{5}\) \(…+2\)\({\,\!}^{2017}\) \(+2\)\({\,\!}^{2018}\)

\({\,\!}^{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\)将下式减去上式得：\(2S-S=2\)\({\,\!}^{2018}\)\(-1\)

\(S=2^{2018}-1\)

即\(1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{2017}=2^{2018}-1\)

请你仿照此法计算：

\((1)1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+…+2^{10}\)

\((2)1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{n}(\)其中\(n\)为正整数\()\)．

难度：较难

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6．
阅读解答

\((1)\)填空：\(3^{1}-3^{0}=2×3^{(\;)}\)；\(3^{2}-3^{1}=2×3^{(\;)}\)；\({\,\!}3^{3}-3^{2}=2×3^{(\;\;\;)}……\)

\((2)\)探索\((1)\)中式子的规律，试写出第\(n\)个等式，并说明第\(n\)个等式成立；

\((3)\)计算：\(3^{0}+3^{1}+3^{2}+3^{3}+3^{4}+…+3^{1000}\)．

难度：较难

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7．

在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图\(1\)所示．

\((1)\)仿照图\(1\)，在图\(2\)中补全\(67^{2}\)的“竖式”；

\((2)\)仿照图\(1\)，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图\(3\)所示\(.\)若这个两位数的个位数字为\(a\)，求这个两位数\((\)用含\(a\)的代数式表示\()\)．

难度：较难

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8．若有理数x，y满足（x+1）²=16，|2y-1|=9，且|x+y|=-x-y，求3x+2y-xy的值．

难度：较难

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9．已知|a|=3，b²=4，|a+b|=a+b，求a-3b的值．

难度：较难

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10．阅读材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．
解：设S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³，将等式两边同时乘以2得：2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴
将下式减去上式得2S-S=2²⁰¹⁴-1
即S=2²⁰¹⁴-1
即1+2+2²+2³+2⁴+…=2²⁰¹⁴-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰
（2）1+5+5²+5³+5⁴+…+5ⁿ（其中n为正整数）．

难度：较难

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