知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
先化简，再求值：\((\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x+y})\div \dfrac{2y}{{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}}\)，其中\(x=\sqrt{3}+\sqrt{2},\) \(y=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)．

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2．
对\(x\)，\(y\)定义一种新运算\(T\)，规定：\(T(x,y)= \dfrac{ax+by}{2x+y} (\)其中\(a\)，\(b\)均为非零常数\()\)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：\(T(0,1)= \dfrac{a×0+b×1}{2×0+1}=b \)．

    \((1)\)已知\(T(1,-1)=-2\)，\(T(4,2)=1\)．

    \(①\)求\(a\)，\(b\)的值．

    \(②\)若关于\(m\)的不等式组\(\begin{cases}T(2m,5-4m)\leqslant 4, \\ T(m,3-2m) > p\end{cases} \)恰好有\(3\)个整数解，求实数\(p\)的取值范围．

    \((2)\)若\(T(x,y)=T(y,x)\)对任意实数\(x\)，\(y\)都成立\([\)这里\(T(x,y)\)和\(T(y,x)\)均有意义\(]\)，则\(a\)，\(b\)应满足怎样的关系式？

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3．

计算：

\((1){{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{-2}}+\left| 2-\sqrt{5} \right|-{{\left( 1-\sqrt{5} \right)}^{0}}\)；

\((2)\left( x+y \right)\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)\)；

\((3){{\left( 2{{m}^{2}}{{n}^{-2}} \right)}^{2}}\cdot 3{{m}^{-3}}{{n}^{-4}}\)；

\((4)\left( a+2+\dfrac{1}{a} \right)\div \left( a-\dfrac{1}{a} \right)\)．

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4．
计算：
\((1) \dfrac {a-2}{a+1}- \dfrac {2a-3}{a+1}\)
\((2)( \dfrac {2x}{x-3}- \dfrac {x}{x+3})⋅ \dfrac {x^{2}-9}{x}\)．

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5．
\((1)\)计算\((2017-π)^{0}-( \dfrac {1}{4})^{-1}+|-2|\)
\((2)\)化简\((1- \dfrac {1}{a-1})÷( \dfrac {a^{2}-4a+4}{a^{2}-a}).\)

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6．
\((1)\)计算：\(-1^{2015}-2^{3}÷(-2)+(- \dfrac {1}{3})^{0}- \sqrt {4}\)
\((2)\)化简：\( \dfrac {a-b}{a}÷(a- \dfrac {2ab-b^{2}}{a})\)．

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7．
化简
\((1) \dfrac {3a^{2}b}{6ab}\)
\((2) \dfrac {2a}{a^{2}-4}- \dfrac {1}{a+2}\)
\((3)[ \dfrac {a^{2}-1}{a^{2}-2a+1}- \dfrac {a}{a^{2}-a}]÷ \dfrac {a}{a-2}\)．

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8．
观察下列各式：

\(\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}=\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x-1}\)；

\(\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{1}{x-2}\)；

\(\dfrac{1}{(x-3)(x-4)}=\dfrac{1}{x-4}-\dfrac{1}{x-3}\)；\(…\)

\((1)\)你归纳出的一般结论是________；

\((2)\)利用上述结论：\(\dfrac{1}{(x-1)(x-2)}+\dfrac{1}{(x-2)(x-3)}+\cdots +\dfrac{1}{(x-2014)(x-2015)}\)．

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9．
已知\(\dfrac{{{x}^{2}}-2x+1}{{{x}^{2}}-1}-A=\dfrac{x}{x+1}\)，其中\(A\)是一个含\(x\)的代数式．

\((1)\)求\(A\)化简后的结果；

\((2)\)当\(x\)满足不等式组\(\begin{cases} & x+3 > 0, \\ & x+1\leqslant 0, \end{cases}\)且\(x\)为整数时，求\(A\)的值．

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10．
先化简，再求值：\( \dfrac{m-3}{3{m}^{2}-6m}÷\left(m+2- \dfrac{5}{m-2}\right) \)，其中\(m \)是方程\({x}^{2}+3x-1=0 \)的根．

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