已知二次函数的图象以\(A(-1,4)\)为顶点，且过点\(B(2,-5)\)．

\((1)\)求该二次函数的表达式；

\((2)\)求该二次函数图象与\(y\)轴的交点坐标．

如图所示，抛物线\(y=-(x-m)^{2}\)的顶点为\(A\)，直线\(l\)：\(y=\sqrt{3}x-\sqrt{3}m\)与\(y\)轴的交点为\(B\)，其中\(m > 0\)．

\((1)\)写出抛物线对称轴及顶点\(A\)的坐标\((\)用含\(m\)的代数式表示\()\)．

\((2)\)证明点\(A\)在直线\(l\)上，并求出\(∠OAB\)的度数．

\((3)\)动点\(Q\)在抛物线对称轴上，问对称轴左侧的抛物线上是否存在点\(P\)，使以\(P\)、\(Q\)、\(A\)为顶点的三角形与\(\triangle OAB\)全等？若存在，求出\(m\)的值，并写出所有符合上述条件的\(P\)点坐标；若不存在，说明理由．

如图所示，二次函数图像的顶点坐标为\(C(1,-2)\)，直线\(y=kx+m\)的图像与该二次函数的图像交于\(A\)、\(B\)两点，其中\(A\)点坐标为\((3,0)\)，\(B\)点在\(y\)轴上\(.\)点\(P\)为线段\(AB\)上的一个动点\((\)点\(P\)与点\(A\)、\(B\)不重合\()\)，过点\(P\)且垂直于\(x\)轴的直线与这个二次函数的图像交于点\(E\)．

\((1)\)求这个二次函数的解析式．

\((2)\)设点\(P\)的横坐标为\(x\)，求线段\(PE\)的长\((\)用含\(x\)的代数式表示\()\)．

\((3)\)点\(D\)为直线\(AB\)与这个二次函数图像对称轴的交点，若以点\(P\)、\(E\)、\(D\)为顶点的三角形与\(\triangle AOB\)相似，请求出\(P\)点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线\(y=x+3\)与\(x\)轴相交于点\(A\)，与\(y\)轴相交于点\(C\)，点\(B\)在\(x\)轴的正半轴上，且\(AB=4\)，抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)经过点\(A\)、\(B\)、\(C\)，点\(D\)是抛物线的顶点．

\((1)\)求抛物线的解析式；

\((2)\)在直线\(AC\)上方的抛物线上存在一点\(J(\)不与点\(D\)重合\()\)，使\(S\)\({\,\!}_{\triangle ACD}\)\(=S\)\({\,\!}_{\triangle ACJ}\)，请求出点\(J\)的坐标；

\((3)\)点\(K\)是在直线\(AC\)上方的抛物线上一动点，设\(K\)的横坐标为\(t\)，\(\triangle KAC\)的面积为\(S\)，试求\(S\)与\(t\)之间的函数关系式，当\(t\)为何值时\(\triangle KAC\)的面积最大，并求出最大值；

\((4)\)点\(H\)是抛物线上第二象限内一点，作\(HG⊥x\)轴，试确定\(H\)点的位置，使\(\triangle HGA\)的面积被直线\(AC\)分为相等的两部分；

\((5)\)若点\(R\)是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点\(R\)，使\({{S}_{\vartriangle RBC}}=\dfrac{{9}}{{2}}\)？若存在，求出点\(R\)的坐标，若不存在，请说明理由；

\((6)\)有一个点\(M\)从点\(A\)出发，以每秒\(1\)个单位的速度在直线\(AB\)上向点\(B\)运动，另一个点\(N\)从点\(D\)与点\(M\)同时出发，以每秒\(2\)个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点\(M\)到达点\(B\)时，点\(M\)、\(N\)同时停止运动，问点\(M\)、\(N\)运动到何处时，\(\triangle MNB\)面积最大，试求出最大面积．