知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

直角三角形\(ABC\)中，\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(D\)是斜边\(BC\)上一点，且\(AB=AD\)，过点\(C\)作\(CE⊥AD\)，交\(AD\)的延长线于点\(E\)，交\(AB\)延长线于点\(F\)．

\((1)\)求证：\(∠ACB=∠DCE\)；

\((2)\)若\(∠BAD=45^{\circ}\)，\(AF=2+ \sqrt{2} \)，过点\(B\)作\(BG⊥FC\)于点\(G\)，连接\(DG.\)依题意补全图形，并求四边形\(ABGD\)的面积．

难度：较难

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2．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)的中点，\(BE=2DE\)，延长\(DE\)到点\(F\)，使得\(EF=BE\)，连接\(CF\)．
\((1)\)求证：四边形\(BCFE\)是菱形；
\((2)\)若\(CE=4\)，\(∠BCF=120^{\circ}\)，求菱形\(BCFE\)的面积．

难度：较难

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3．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠B=90^{\circ}\)，\(AC=60cm\)，\(∠A=60^{\circ}\)，点\(D\)从点\(C\)出发沿\(CA\)方向以\(4cm/\)秒的速度向点\(A\)匀速运动，同时点\(E\)从点\(A\)出发沿\(AB\)方向以\(2cm/\)秒的速度向点\(B\)匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动\(.\)设点\(D\)、\(E\)运动的时间是\(t\)秒\((0 < t\leqslant 15).\)过点\(D\)作\(DF⊥BC\)于点\(F\)，连接\(DE\)，\(EF\)．
\((1)\)求证：\(AE=DF\)；
\((2)\)四边形\(AEFD\)能够成为菱形吗？如果能，求出相应的\(t\)值，如果不能，说明理由；
\((3)\)当\(t\)为何值时，\(\triangle DEF\)为直角三角形？请说明理由．

难度：较难

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4．
如图\(1\)，在矩形纸片\(ABCD\)中，\(AB=3cm\)，\(AD=5cm\)，折叠纸片使\(B\)点落在边\(AD\)上的\(E\)处，折痕为\(PQ\)，过点\(E\)作\(EF/\!/AB\)交\(PQ\)于\(F\)，连接\(BF\)．
\((1)\)求证：四边形\(BFEP\)为菱形；
\((2)\)当点\(E\)在\(AD\)边上移动时，折痕的端点\(P\)、\(Q\)也随之移动；
\(①\)当点\(Q\)与点\(C\)重合时\((\)如图\(2)\)，求菱形\(BFEP\)的边长；
\(②\)若限定\(P\)、\(Q\)分别在边\(BA\)、\(BC\)上移动，求出点\(E\)在边\(AD\)上移动的最大距离．

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5．
如图，分别以直角\(\triangle ABC\)的斜边\(AB\)，直角边\(AC\)为边向\(\triangle ABC\)外作等边\(\triangle ABD\)和等边\(\triangle ACE\)，\(F\)为\(AB\)的中点，\(DE\)与\(AB\)交于点\(G\)，\(EF\)与\(AC\)交于点\(H\)，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(∠BAC=30^{\circ}.\)给出如下结论：
\(①EF⊥AC\)；\(②\)四边形\(ADFE\)为菱形；\(③AD=4AG\)；\(④FH= \dfrac {1}{4}BD\)
其中正确结论的为 ______ \((\)请将所有正确的序号都填上\()\)．

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6．
如图\(1\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，动点\(P\)从点\(A\)开始沿边\(AC\)向点\(C\)以\(1\)个单位长度的速度运动，动点\(Q\)从点\(C\)开始沿边\(CB\)向点\(B\)以每秒\(2\)个单位长度的速度运动，过点\(P\)作\(PD/\!/BC\)，交\(AB\)于点\(D\)，连接\(PQ\)分别从点\(A\)、\(C\)同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为\(t\)秒\((t\geqslant 0)\)．
\((1)\)直接用含\(t\)的代数式分别表示：\(QB=\) ______ ，\(PD=\) ______ ．
\((2)\)是否存在\(t\)的值，使四边形\(PDBQ\)为菱形？若存在，求出\(t\)的值；若不存在，说明理由\(.\)并探究如何改变\(Q\)的速度\((\)匀速运动\()\)，使四边形\(PDBQ\)在某一时刻为菱形，求点\(Q\)的速度；
\((3)\)如图\(2\)，在整个运动过程中，求出线段\(PQ\)中点\(M\)所经过的路径长．

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7．
如图，在四边形\(ABCF\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，点\(E\)是\(AB\)边的中点，点\(F\)恰是点\(E\)关于\(AC\)所在直线的对称点．

\((1)\)证明：四边形\(CFAE\)为菱形；

\((2)\)连接\(EF\)交\(AC\)于点\(O\)，若\(BC=10\)，求线段\(OF\)的长．

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8．
在平行四边形\(ABCD\)中，\(∠BAD\)的平分线交线段\(BC\)于点\(E\)，交线段\(DC\)的延长线于点\(F\)，以\(EC\)、\(CF\)为邻边作平行四边形\(ECFG\)．

\((1)\)如图\(1\)，证明平行四边形\(ECFG\)为菱形；

\((2)\)如图\(2\)，若\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(M\)是\(EF\)的中点，求\(∠BDM\)的度数；

\((3)\)如图\(3\)，若\(∠ABC=120^{\circ}\)，请直接写出\(∠BDG\)的度数．

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9．

已知：在\(□\)\(ABCD\)中，点\(E\)为对角线\(BD\)上一点，点\(F\)、\(G\)在直线\(BC\)上，且\(BE=EG\)，\(∠AEF=∠BEG\)．

\((1)\)如图\(1\)，若\(AB=BC\)，求证：\(\triangle ABE\)≌\(\triangle FGE\)；

\((2)\)若\(AB=BC\)．

\(①\)如图\(2\)，当\(∠ABC=120^{\circ}\)时，求证：\(AB=BE+BF\)；

\(②\)如图\(3\)，当\(∠ABC=90^{\circ}\)，点\(F\)在线段\(BC\)上时，线段\(AB\)、\(BE\)、\(BF\)之间存在的等量关系如何？\((\)请直接写出结论\()\)

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10．
如图，在等边三角形\(ABC\)中，\(BC=6cm.\) 射线\(AG/\!/BC\)，点\(E\)从点\(A\)出发沿射线\(AG\)以\(1cm/s\)的速度运动，同时点\(F\)从点\(B\)出发沿射线\(BC\)以\(2cm/s\)的速度运动，设运动时间为\(t(s)\)．

\((1)\)连接\(EF\)，当\(EF\)经过\(AC\)边的中点\(D\)时，求证：\(\triangle ADE\)≌\(\triangle CDF\)；

\((2)\)填空：

\(①\)当\(t\)为_________\(s\)时，\(A\)，\(C\)，\(F\)，\(E\)四点组成的四边形是菱形；并说明理由。

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