知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图$(1)AB=9cm$，$AC⊥AB$，$BD⊥AB$，$AC=BD=7cm$，点$P$在线段$AB$上以$2cm/s$的速度由点$A$向点$B$运动，同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动，它们运动的时间为$t(s)$．

$(1)$若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等，当$t=1$时，$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$是否全等，请说明理由；
$(2)$在$(1)$的前提条件下，判断此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系，并证明；
$(3)$如图$(2)$，将图$(1)$中的“$AC⊥AB$，$BD⊥AB$”为改“$∠CAB=∠DBA=50^{\circ}$”，其他条件不变$.$设点$Q$的运动速度为$xcm/s$，是否存在实数$x$，使得$\triangle ACP$与$\triangle BPQ$全等？若存在，求出相应的$x$、$t$的值；若不存在，请说明理由．

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2．
如图，$\triangle ABC$的外角$∠ACD$的平分线$CP$与内角$∠ABC$平分线$BP$交于点$P$，若$∠BPC=40^{\circ}$，则$∠CAP=$_______________．

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3．
如图，在$\triangle ABC$中，$∠ABC=90^{\circ}$，边$AC$的垂直平分线交$BC$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$BE$．

$(1)$若$∠C=30^{\circ}$，求证：$BE$是$\triangle DEC$外接圆的切线；
$(2)$若$BE= \sqrt {3}$，$BD=1$，求$\triangle DEC$外接圆的直径．

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4．如图，在平面直角坐标系中，点$A(a, \dfrac {3}{2}a)$在第三象限，点$B(b,0)$在$x$轴正半轴上，且$a$，$b$满足$ \sqrt {a^{2}-4}+|2a+b|=0$，连接$AB$交$y$轴负半轴于点$M$．
$(1)$求点$A$、$B$的坐标及三角形$ABO$的面积$S_{三角形ABO}$；
$(2)$求点$M$的坐标；
$(3)$在$y$轴上是否存在点$P$，使得$S_{三角形ABP}=2S_{三角形ABO}$，若存在，求出点$P$的坐标：若不存在，请说明理由．

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5．在平面直角坐标系中，$C(a,b)$满足方程组$ \begin{cases} 2a-b=- \dfrac {23}{4} \\ 4a+b=- \dfrac {1}{4}\end{cases}$，$A(4,0)$，连接$AC$交$y$轴于点$B(0,3)$，$D(-2,0)$，连接$CD$．
$(1)$求$C$点坐标；
$(2)$动点$P$从点$D$出发，沿$x$轴正方向以每秒$2$个单位的速度运动，运动到$A$点时停止运动，$\triangle CAP$的面积为$S$，$P$点运动的时间为$t(s)$，求$S$与$t$的关系式；
$(3)$在$(2)$的条件下，$H$为线段$AB$上的一点，且$H$的坐标为$(2, \dfrac {3}{2})$，动点$Q$从$B$点出发沿$y$轴，以每秒$ \dfrac {5}{4}$个单位的速度向终点$O$运动$($一点停止另一点也停止运动$)$，当$t$为何值时，$\triangle QHB$的面积与$\triangle AHP$的面积和为$ \dfrac {17}{4}$．

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6．
如图$(1)$，矩形纸片$ABCD$，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？

$(1)$在图$(2)$中用实线画出折叠后得到的图形$($要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出其中一种情况$)$；

$(2)$折叠后重合部分是什么图形？试说明理由．

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7．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，2 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）
（1）点（k+1，2k-5）关于x轴的对称点在第一象限，a为实数k的范围内的最大整数，求A点的坐标及△AOB的面积；
（2）在（1）的条件下如图1，点P是第一象限内的点，且△ABP是以AB为腰的等腰直角三角形，请直接写出P点坐标；
（3）在（1）的条件下，如图2，以AB、OB的作等边△ABC和等边△OBD，连接AD、OC交于E点，连接BE．
①求证：EB平分∠CED；
②M点是y轴上一动点，求AM+CM的最小值．

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8．在平面直角坐标系中有四个点A（0，a）、B（b-1，a）、M（b-2，0）、N（a+b-1，0）且±2是a的平方根，b是27的立方根．
（1）求a，b的值；
（2）设点P是线段AN上任意一点，点Q是∠BAN的平分线与∠PON的平分线的交点，若∠BAN+∠PON=80°，求∠AQO的度数；
（3）已知点C在直线AB上，且BC=1．线段BC以每秒1个单位长度的速度在直线AB上沿射线BC方向运动，同时线段MN以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动．在运动过程中，点B′、C'、M′、N′分别是点B、C、M、N的对应点，连接N′C′，当N′C′平行于y轴时，求点B′、M'的坐标．

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9．有一个如图所示的凹槽，各部分长度如图中所标$.$一只蜗牛从$A$点经过凹槽内壁爬到$B$点取食，最短的路径长是______$m.$

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