知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图\((1)AB=9cm\)，\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)，\(AC=BD=7cm\)，点\(P\)在线段\(AB\)上以\(2cm/s\)的速度由点\(A\)向点\(B\)运动，同时，点\(Q\)在线段\(BD\)上由点\(B\)向点\(D\)运动，它们运动的时间为\(t(s)\)．

\((1)\)若点\(Q\)的运动速度与点\(P\)的运动速度相等，当\(t=1\)时，\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)是否全等，请说明理由；
\((2)\)在\((1)\)的前提条件下，判断此时线段\(PC\)和线段\(PQ\)的位置关系，并证明；
\((3)\)如图\((2)\)，将图\((1)\)中的“\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)”为改“\(∠CAB=∠DBA=50^{\circ}\)”，其他条件不变\(.\)设点\(Q\)的运动速度为\(xcm/s\)，是否存在实数\(x\)，使得\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)全等？若存在，求出相应的\(x\)、\(t\)的值；若不存在，请说明理由．

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2．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\( \dfrac {BC}{AC}= \dfrac {m}{n}\)，\(CD⊥AB\)于点\(D\)，点\(E\)是直线\(AC\)上一动点，连接\(DE\)，过点\(D\)作\(FD⊥ED\)，交直线\(BC\)于点\(F\)．
\((1)\)探究发现：
如图\(1\)，若\(m=n\)，点\(E\)在线段\(AC\)上，则\( \dfrac {DE}{DF}=\) ______ ；
\((2)\)数学思考：
\(①\)如图\(2\)，若点\(E\)在线段\(AC\)上，则\( \dfrac {DE}{DF}=\) ______ \((\)用含\(m\)，\(n\)的代数式表示\()\)；
\(②\)当点\(E\)在直线\(AC\)上运动时，\(①\)中的结论是否任然成立？请仅就图\(3\)的情形给出证明；
\((3)\)拓展应用：若\(AC= \sqrt {5}\)，\(BC=2 \sqrt {5}\)，\(DF=4 \sqrt {2}\)，请直接写出\(CE\)的长．

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3．
正方形网格中的每个小正方形的边长都是\(1\)，请用无刻度的直尺，以格点为顶点，

\((1)\)在图\(①\)中，画一个面积为\(10\)的正方形；
\((2)\)在图\(②\)、图\(③\)中，分别画一个直角三角形\((\)不相同\()\)，使它们的三边长都是无理数

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4．
如图所示，在平面直角坐标系中，过点\(A(- \sqrt {3},0)\)的两条直线分别交\(y\)轴于\(B\)、\(C\)两点，且\(B\)、\(C\)两点的纵坐标分别是一元二次方程\(x^{2}-2x-3=0\)的两个根
\((1)\)求线段\(BC\)的长度；
\((2)\)试问：直线\(AC\)与直线\(AB\)是否垂直？请说明理由；
\((3)\)若点\(D\)在直线\(AC\)上，且\(DB=DC\)，求点\(D\)的坐标；
\((4)\)在\((3)\)的条件下，直线\(BD\)上是否存在点\(P\)，使以\(A\)、\(B\)、\(P\)三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出\(P\)点的坐标；若不存在，请说明理由．

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5．如图，\(\triangle ABC\)中，点\(O\)是边\(AC\)上一个动点，过\(O\)作直线\(MN/\!/BC.\)设\(MN\)交\(∠ACB\)的平分线于点\(E\)，交\(∠ACB\)的外角平分线于点\(F\)．
\((1)\)求证：\(OE=OF\)；
\((2)\)若\(CE=8\)，\(CF=6\)，求\(OC\)的长；
\((3)\)当点\(O\)在边\(AC\)上运动到什么位置时，四边形\(AECF\)是矩形？并说明理由．

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6．

如图，矩形\(ABCD\)的对角线\(AC\)、\(BD\)相交于点\(O\)．

\(⑴\)尺规作图：以\(CD\)所在直线为对称轴，作出\(\triangle \)\(COD\)的轴对称图形\(\triangle \)\(CED\)；

\(⑵\)在所作图形中求证：四边形\(OCED\)是菱形．

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7．
在▱\(ABCD\)中，\(∠ADC\)的平分线交直线\(BC\)于点\(E\)、交\(AB\)的延长线于点\(F\)，连接\(AC\)．
\((1)\)如图\(1\)，若\(∠ADC=90^{\circ}\)，\(G\)是\(EF\)的中点，连接\(AG\)、\(CG\)．
\(①\)求证：\(BE=BF\)．
\(②\)请判断\(\triangle AGC\)的形状，并说明理由；
\((2)\)如图\(2\)，若\(∠ADC=60^{\circ}\)，将线段\(FB\)绕点\(F\)顺时针旋转\(60^{\circ}\)至\(FG\)，连接\(AG\)、\(CG\)，那么\(\triangle AGC\)又是怎样的形状\(.(\)直接写出结论不必证明\()\)

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8．
如图\(1\)，已知抛物线\(C_{1}\)：\(y=ax^{2}+bx+c\)与\(x\)轴交于\(A(- \dfrac {16}{3},0)\)，\(B(6,0)\)两点，与\(y\)轴正半轴交于点\(C\)，且\(\tan ∠ABC= \dfrac {4}{3}\)．
\((1)\)求该抛物线\(C_{1}\)的解析式；
\((2)\)如图\(1\)，点\(P\)是\(x\)轴上方的抛物线上的一动点，连接\(PB\)，\(PC\)，设所得\(\triangle PBC\)的面积为\(S.\)若\(\triangle PBC\)的面积\(S\)为整数，则这样的\(\triangle PBC\)共有多少个？请说明理由．
\((3)\)如图\(2\)，将原抛物线\(C_{1}\)绕着某点旋转\(180^{\circ}\)，得到的新抛物线\(C_{2}\)的顶点为坐标原点，点\(F(0,1)\)，点\(Q\)是\(y\)轴负半轴上一点，过\(Q\)点的直线\(PQ\)与抛物线\(C_{2}\)在第二象限有唯一公共点\(P\)，过\(P\)分别作\(PG⊥PQ\)交\(y\)轴与\(G\)，\(PT/\!/y\)轴，求证：\(∠TPG=∠FPG\)．

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9．观察图中有三角形的个数，并按规律填空．

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10．如图，直线a上有5个点，A₁，A₂，…，A₅，图中共有多少个三角形？

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