知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图\((1)AB=9cm\)，\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)，\(AC=BD=7cm\)，点\(P\)在线段\(AB\)上以\(2cm/s\)的速度由点\(A\)向点\(B\)运动，同时，点\(Q\)在线段\(BD\)上由点\(B\)向点\(D\)运动，它们运动的时间为\(t(s)\)．

\((1)\)若点\(Q\)的运动速度与点\(P\)的运动速度相等，当\(t=1\)时，\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)是否全等，请说明理由；
\((2)\)在\((1)\)的前提条件下，判断此时线段\(PC\)和线段\(PQ\)的位置关系，并证明；
\((3)\)如图\((2)\)，将图\((1)\)中的“\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)”为改“\(∠CAB=∠DBA=50^{\circ}\)”，其他条件不变\(.\)设点\(Q\)的运动速度为\(xcm/s\)，是否存在实数\(x\)，使得\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)全等？若存在，求出相应的\(x\)、\(t\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\( \dfrac {BC}{AC}= \dfrac {m}{n}\)，\(CD⊥AB\)于点\(D\)，点\(E\)是直线\(AC\)上一动点，连接\(DE\)，过点\(D\)作\(FD⊥ED\)，交直线\(BC\)于点\(F\)．
\((1)\)探究发现：
如图\(1\)，若\(m=n\)，点\(E\)在线段\(AC\)上，则\( \dfrac {DE}{DF}=\) ______ ；
\((2)\)数学思考：
\(①\)如图\(2\)，若点\(E\)在线段\(AC\)上，则\( \dfrac {DE}{DF}=\) ______ \((\)用含\(m\)，\(n\)的代数式表示\()\)；
\(②\)当点\(E\)在直线\(AC\)上运动时，\(①\)中的结论是否任然成立？请仅就图\(3\)的情形给出证明；
\((3)\)拓展应用：若\(AC= \sqrt {5}\)，\(BC=2 \sqrt {5}\)，\(DF=4 \sqrt {2}\)，请直接写出\(CE\)的长．

难度：较难

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3．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠B=90^{\circ}\)，\(AB=3\)，\(BC=4\)，将\(\triangle ABC\)折叠，使点\(B\)恰好落在边\(AC\)上，与点\(B′\)重合，\(AE\)为折痕，则\(EB′=\) ．

难度：较难

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4．

如图，透明的圆柱形容器\((\)容器厚度忽略不计\()\)的高为\(12cm\)，底面周长为\(10cm\)，在容器内壁离容器底部\(3cm\)的点\(B\)处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿\(3cm\)的点\(A\)处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是\((\)　　\()\)

A．\(13cm\)

B．\(2 \sqrt {61}cm\)

C．\( \sqrt {61}cm\)

D．\(2 \sqrt {34}cm\)

难度：较难

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5．
如图所示，在平面直角坐标系中，过点\(A(- \sqrt {3},0)\)的两条直线分别交\(y\)轴于\(B\)、\(C\)两点，且\(B\)、\(C\)两点的纵坐标分别是一元二次方程\(x^{2}-2x-3=0\)的两个根
\((1)\)求线段\(BC\)的长度；
\((2)\)试问：直线\(AC\)与直线\(AB\)是否垂直？请说明理由；
\((3)\)若点\(D\)在直线\(AC\)上，且\(DB=DC\)，求点\(D\)的坐标；
\((4)\)在\((3)\)的条件下，直线\(BD\)上是否存在点\(P\)，使以\(A\)、\(B\)、\(P\)三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出\(P\)点的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．
如图，一圆柱高\(8cm\)，底面半径为\( \dfrac {6}{\pi }cm\)，一只蚂蚁从点\(A\)爬到点\(B\)处吃食，要爬行的最短路程是 ______ \(cm\)．

难度：较难

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7．

如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中\(AB=9,B{B}_{1}=5,{B}_{1}{C}_{1}=6 \)，在线段\(AB\)的三等分点\(E(\)靠近点\(A)\)处有一只蚂蚁，\(B{{"}}C{{"}}\)中点\(F\)处有一米粒，则蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为\((\) \()\)