知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，F是BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D、G两点，AD分别与EF，GF交于I、H两点．
（1）求证：AE∥FD；
（2）试判断AF和AB的数量关系，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：AE=IE；
②设AC=12，BC=10，求GF的长．

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2．如图所示：在平面直角坐标系中，以点M（0，
3
）为圆心，2
3
为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E．
（1）求点C，P的坐标；
（2）求弓形
ACB
的面积；
（3）探求线段BE和OE存在何种数量关系，并证明你所得到的结论．

难度：较难

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3．如图①，已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线y=
3
4
x交于点E，过点D作DC∥x轴，交直线y=
3
4
x于点C．过点C作CB∥AD交x轴于点B．（1）点C的坐标是；
（2）以线段AD的中点M为圆心作⊙M，当⊙M与直线CE相切时，求⊙M的半径；
（3）如图②，点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q两点同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为ts，当点Q到达终点时，P、Q两点均停止运动．在点P、Q的运动过程中，将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°后，设点Q的对应点为R．当点R落在四边形ABCD一边所在的直线上时，直接写出t的值．

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4．（2015秋•邗江区期中）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C．
（1）请完成如下操作：①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
①写出点的坐标：C    、D    ；
②⊙D的半径=    （结果保留根号）；
③∠ADC的度数为    ．
④网格图中是否存在过点B的直线BE是⊙D的切线？如果没有，请说明理由；如果有，请直接写出直线BE的函数解析式．

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5．在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为t秒，回答下列问题：
（1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于5cm²？
（2）如图2，当t=
3
2
秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由；
（3）如图3，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．
①在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；
②若⊙Q与四边形DPQC有三个公共点，请直接写出t的取值范围．

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6．（2015秋•洪泽县期中）如图，正三角形ABC的边长为6
3
，当圆心O从点A出发，沿着线路AB-BC-CA运动，最后回到点A，⊙O与△ABC任意一边都不会相切时，称为“零相切”；在运动过程中，当⊙O只与△ABC一边相切时，称为“单次相切”；在运动过程中，当⊙O与△ABC两边都相切时，成为继“双次相切”．
（1）当⊙O的半径为
3
．⊙O与△ABC首次“单次相切”时，OA的长为；⊙O与△ABC第二次“单次相切”时，OA的长为；在整个运动过程中，⊙O与△ABC“单次相切”的次数为；⊙O在运动过程中有可能与△ABC“双次相切”吗？．（填“可能”或“不可能”）
（2）若⊙O的半径为9，在整个运动过程中，⊙O与△ABC“单次相切”的次数为．此时⊙O在运功过程中有可能与△ABC“双次相切”吗？（填“可能”或“不可能”）
（3）依照（1）、（2）研究方法，请你直接写出，在运动过程中，半径r的范围及相应的相切情况的次数．

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7．（2015秋•下城区期中）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）OA：OB= ；
（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为．

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8．操作：小明准备制作一个制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：

说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；
     方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．
     方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．
纸片利用率=
纸片被利用的面积
纸片的总面积
×100%
发现：（1）小明发现方案一中的点A．B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．
（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率约为38.2%，你知道怎么算的吗？请你写出他的计算过程；
（3）对于方案二纸片的利用率，小明认为关键的是要求出此直角三角形的两直角边的长，你是这样想的吗？请你选用合适的方法求出方案二纸片的利用率．（结果精确到0.1%）
探究：
（4）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率：    ．（结果精确到0.1%）

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9．如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0（s）时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．（提示：直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半，反之成立）
（1）当t=0（s）时，点A与圆O的关系，当t=8（s）时，点A与圆O的关系；
（2）当t为何值时，△ABC的边AB所在的直线与半圆O相切？
（3）当△ABC的一边AB所在的直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直径DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

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10．（2015秋•宝应县期中）已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒
2
个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）求E点的坐标和S_△ABE的值；
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O₁有哪几种位置关系，并求出对应的运动时间t的范围．

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