知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成$($如图$1)$，图$2$是从图$1$引出的平面图$.$假设你站在$A$处测得塔杆顶端$C$的仰角是$55^{\circ}$，沿$HA$方向水平前进$43$米到达山底$G$处，在山顶$B$处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端$D(D$、$C$、$H$在同一直线上$)$的仰角是$45^{\circ}.$已知叶片的长度为$35$米$($塔杆与叶片连接处的长度忽略不计$)$，山高$BG$为$10$米，$BG⊥HG$，$CH⊥AH$，求塔杆$CH$的高$.($参考数据：$\tan 55^{\circ}≈1.4$，$\tan 35^{\circ}≈0.7$，$\sin 55^{\circ}≈0.8$，$\sin 35^{\circ}≈0.6)$

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3．

已知$B$港口位于$A$观测点北偏东$45^{\circ}$方向，且其到$A$观测点正北风向的距离$BM$的长为$10 \sqrt {2}km$，一艘货轮从$B$港口沿如图所示的$BC$方向航行$4 \sqrt {7}km$到达$C$处，测得$C$处位于$A$观测点北偏东$75^{\circ}$方向，则此时货轮与$A$观测点之间的距离$AC$的长为$($　　$)km$．

A．$8 \sqrt {3}$

B．$9 \sqrt {3}$

C．$6 \sqrt {3}$

D．$7 \sqrt {3}$

难度：较难

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4．
如图，学校教学楼附近有一个斜坡，王老师发现教学楼在水平地面与斜坡处形成的投影中，在斜坡上的影子$CD=6m$，坡角$D$点到楼房的距离$CB=8m$，在$D$点处观察点$A$的仰角为$60^{\circ}$，已知坡角$∠ECD$为$30^{\circ}$，请帮王老师求出楼房$AB$的高度．

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5．
如图，$C$地在$A$地的正东方向，因有大山阻隔，由$A$地到$C$地需绕行$B$地$.$已知$B$地位于$A$地北偏东$67^{\circ}$方向，距离$A$地$520km$，$C$地位于$B$地南偏东$30^{\circ}$方向$.$若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求$A$地到$C$地之间高铁线路的长$.($结果保留整数$)$
$($参考数据：$\sin 67^{\circ}≈ \dfrac {12}{13}$，$\cos 67^{\circ}≈ \dfrac {5}{13}$，$\tan 67^{\circ}≈ \dfrac {12}{5}$，$ \sqrt {3}≈1.73)$

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6．关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ②
tan（α+β）= $%20%5Cfrac%20%7Btan%CE%B1%2Btan%CE%B2%7D%7B1-tan%5Calpha%20%5Ccdot%20tan%5Cbeta%20%7D$ ③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）= $%20%5Cfrac%20%7Btan45%20%C2%B0%20%2Btan60%20%C2%B0%20%7D%7B1-tan45%20%5E%5Ccirc%20%20%5Ccdot%20tan60%20%5E%5Ccirc%20%20%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B1%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B1-1%5Ccdot%20%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B%281%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%281%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%7D%7B%281-%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%281%2B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%29%7D$ =-（2+ $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．

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7．（2015秋•深圳期末）小明在楼顶上看到对面山上有一座铁塔．他现有的测量材料：测倾器、皮尺．请你根据你所掌握的知识，选择恰当的条件求出塔高．（精确到1）
∠DEB=22°，∠CEB=9°，∠DAB=33°，∠CAB∠=14°，∠DFG=42°
（参考数据：tan22°≈0.40，tan9°≈0.16，tan33°≈0.65，tan14°≈0.25，tan42°≈0.90）
根据你的发现，在下面的题中填入所需要的条件（只做一题），并解答．
（1）选两个长度，角度任选．
已知：
求：CD．
（2）选一个长度，角度任选．
已知：
求：CD．
我选    ．解答如下：    ．

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8．如图，已知抛物线y=
1
3
x²+
2
3
x-
8
3
与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，点E在线段AB上，且AE：EB=1：2．
（1）请直接写出点A、B、D、E的坐标；
（2）作直线AD，将直线AD绕点A按逆时针方向旋转α°（0°＜α＜180°），速度为5°/s，旋转到某一时刻，在该直线上存在一点M，使以M、E、B为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点M有且只有三个不同位置，求旋转时间；
（3）连接AC，在x轴上方的抛物线上找一点P，使∠CAP=45°，求点P的坐标．

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9．在一次数学课上，小明同学把一个宽为3（AB=3）的矩形ABCD折成如图所示的图形，点C刚好落在AD边上的点E处，若∠DEF=40°，求矩形的长AD．（精确到0.1）（参考数据：sin50°≈0.76，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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10．房间内有一块长130cm，宽110cm的矩形区域（此图为俯视图）．在此区域内有一扇宽80cm的门，门打开时的最大张角为150°．若在门后靠墙放一个鞋架，鞋架的长100cm，宽30cm，那么放下鞋架后，门是否还能打开到最大张角的程度？
（精确到0.1米）（参考数据：sin30°=
1
2
，cos30°=
3
2
，tan30°=
3
3
，
3
≈1.73）

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