知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．

对于\(0\)，\(1\)以及真分数\(p\)，\(q\)，\(r\)，若\(p < q < r\)，我们称\(q\)为\(p\)和\(r\)的中间分数\(.\)为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数\(.\)例如：表中第\(③\)行中的\(3\)个分数\(\dfrac{1}{3}\)、\(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{2}{3}\)，有\(\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\)，所以\(\dfrac{1}{2}\)为\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的一个中间分数，在表中还可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数\(\dfrac{2}{5}\)，\(\dfrac{3}{7}\)，\(\dfrac{4}{7}\)，\(\dfrac{3}{5}.\)把这个表一直写下去，可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)更多的中间分数．

\((1)\)按上表的排列规律，完成下面的填空：

\(①\)上表中括号内应填的数为_____________；

\(②\)如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的\(\dfrac{3}{5}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数是_________；

\((2)\)写出分数\(\dfrac{a}{b}\)和\(\dfrac{c}{d}(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)均为正整数，\(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\)，\(c < d)\)的一个中间分数\((\)用含\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的式子表示\()\)，并证明；

\((3)\)若\(\dfrac{s}{m}\)与\(\dfrac{t}{n}(m\)、\(n\)、\(s\)、 \(t\)均为正整数\()\)都是\(\dfrac{9}{17}\)和\(\dfrac{8}{15}\)的中间分数，则\(mn\)的最小值为___________．

难度：难

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3．
先观察下列等式，再回答下列问题：
\(① \sqrt {1+ \dfrac {1}{1^{2}}+ \dfrac {1}{2^{2}}}=1+ \dfrac {1}{1}- \dfrac {1}{1+1}=1 \dfrac {1}{2}\)； \(② \sqrt {1+ \dfrac {1}{2^{2}}+ \dfrac {1}{3^{2}}}=1+ \dfrac {1}{2}- \dfrac {1}{2+1}=1 \dfrac {1}{6}\)
\(③ \sqrt {1+ \dfrac {1}{3^{2}}+ \dfrac {1}{4^{2}}}=1+ \dfrac {1}{3}- \dfrac {1}{3+1}=1 \dfrac {1}{12}\)
\((1)\)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想\( \sqrt {1+ \dfrac {1}{4^{2}}+ \dfrac {1}{5^{2}}}\)的结果，并验证；
\((2)\)请你按照上面各等式反映的规律，用含\(n\)的等式表示\((n\)为正整数\()\)．

难度：难

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4．
一列数\(x_{1}\)，\(x_{2}\)，\(x_{3}\)，\(……\)，其中\(x_{1}=\dfrac{1}{2} \)，\(x_{n}=\dfrac{1}{1-{x}_{n-1}} (n\)为不小于\(2\)的整数\()\)，如当\(n=2\)时，\(x_{2}=\dfrac{1}{1-{{x}_{1}}}=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2}}=2\)，则\(x_{2018}=\)_____．

难度：难

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5．

对点\((x,y)\)的一次操作变换记为\(P_{1}(x,y)\)，定义其变换法则如下：\(P_{1}(x,y)=(x+y,x-y)\)；且规定\(P_{n}(x,y)=P_{1}(P_{n-1}(x,y))(n\)为大于\(1\)的整数\().\)如\(P_{1}(1,2)=(3,-1)\)，\(P_{2}(1,2)=P_{1}(P_{1}(1,2))=P_{1}(3\)，\(-1)=(2\)，\(4)\)，\(P_{3}(1,2)=P_{1}(P_{2}(1,2))=P_{1}(2\)，\(4)=(6\)，\(-2).\)则\(P_{2017}(1,-l)=(\) \()\)

A．\((0,2^{1009})\)

B．\((0,-2^{1008})\)

C．\((0,2^{1008})\)

D．\((0,-2^{1009})\)

难度：难

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6．

在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是\(2017\)年\(12\)月份的日历\(.\)如图所选择的两组四个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减，例如：\(7×9-1×15=\)____，\(18×20-12×26=\)____，不难发现，结果都是_____．

\((1)\)请将上面三个空补充完整；

\((2)\)我们发现选择其他类似的部分规律也相同，请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．

难度：难

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7．

在平面直角坐标系\(xoy\)中，对于点\(P(x,y)\)，我们把点\(P′(-y+1,x+1)\)叫做点\(P\)伴随点\(.\)已知点\(A_{1}\)的伴随点为\(A_{2}\)，点\(A_{2}\)的伴随点为 \(A_{3}\)，点 \(A_{3}\)的伴随点为 \(A_{4}\)，\(…\)，这样依次得到点 \(A_{1}\)， \(A_{2}\)， \(A_{3}\)，\(…\)， \(A_{n}\)，\(….\)若点 \(A_{1}\)的坐标为\((2,4)\)，点\(A_{2018}\)的坐标为 \((\) \()\)

A． \((-3,3)\)

B． \((-2,-2)\)

C． \((3,-1)\)

D． \((2,4)\)

难度：难

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8．

小明使用电脑编了如下一个程序：

已知当输入\(x\)的值是\(2\)时，输出的值为\(-14\)，当输入\(x\)的值是\(-2\)时，输出的值为\(18\)，则当输入\(x\)的值为\( \dfrac {1}{2}\)时，输出的值为\((\)　　\()\)

A．\(1 \dfrac {1}{2}\)

B．\(-1 \dfrac {1}{2}\)

C．\(1 \dfrac {1}{4}\)

D．\(1 \dfrac {3}{4}\)

难度：难

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9． \((1)\)若\({m}_{1} \)，\({m}_{2} \)，\(…{m}_{2017} \)是从\(0\)，\(1\)，\(2\)这三个数中取值的一列数，若\({m}_{1} +{m}_{2} +…+{m}_{2017} =1525\)，\({\left({m}_{1}-1\right)}^{2}+{\left({m}_{2}-1\right)}^{2}+⋯{\left({m}_{2017}-1\right)}^{2}=1510 \) ，则在\({m}_{1} \)，\({m}_{2} \)，\(…{m}_{2017} \)中，取值为\(2\)的个数为．
\((2)\)某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔\(6\)分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔\(12\)分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟\(?\)

难度：难

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10．

观察下列等式：\(a_{1}=n\)，\(a_{2}=1- \dfrac {1}{a_{1}}\)，\(a_{3}=1- \dfrac {1}{a_{2}}\)，\(a_{4}=1- \dfrac {1}{a_{3}}\)，\(…\)根据其蕴含的规律可得\((\)　　\()\)

A．\(a_{2016}=n\)

B．\(a_{2016}= \dfrac {n-1}{n}\)

C．\(a_{2016}= \dfrac {1}{n-1}\)

D．\(a_{2016}= \dfrac {1}{1-n}\)

难度：难

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