对于\(0\)，\(1\)以及真分数\(p\)，\(q\)，\(r\)，若\(p < q < r\)，我们称\(q\)为\(p\)和\(r\)的中间分数\(.\)为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数\(.\)例如：表中第\(③\)行中的\(3\)个分数\(\dfrac{1}{3}\)、\(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{2}{3}\)，有\(\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2} < \dfrac{2}{3}\)，所以\(\dfrac{1}{2}\)为\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的一个中间分数，在表中还可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数\(\dfrac{2}{5}\)，\(\dfrac{3}{7}\)，\(\dfrac{4}{7}\)，\(\dfrac{3}{5}.\)把这个表一直写下去，可以找到\(\dfrac{1}{3}\)和\(\dfrac{2}{3}\)更多的中间分数．
\((1)\)按上表的排列规律，完成下面的填空：
\(①\)上表中括号内应填的数为_____________；
\(②\)如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的\(\dfrac{3}{5}\)和\(\dfrac{2}{3}\)的中间分数是_________；
\((2)\)写出分数\(\dfrac{a}{b}\)和\(\dfrac{c}{d}(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)均为正整数，\(\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\)，\(c < d)\)的一个中间分数\((\)用含\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的式子表示\()\)，并证明；
\((3)\)若\(\dfrac{s}{m}\)与\(\dfrac{t}{n}(m\)、\(n\)、\(s\)、 \(t\)均为正整数\()\)都是\(\dfrac{9}{17}\)和\(\dfrac{8}{15}\)的中间分数，则\(mn\)的最小值为___________．