4．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD⊥BC\)于点\(D\)，\(BC=6cm\)，\(AD=4cm\)，点\(P\)从点\(B\)出发，在线段\(BC\)上以每秒\(1.5cm\)的速度向点\(C\)匀速运动，与此同时，垂直于\(AD\)的直线\(m\)从底边\(BC\)出发，以每秒\(1cm\)的速度沿\(DA\)方向匀速平移，分别交\(AB\)，\(AC\)，\(AD\)于点\(E\)，\(F\)，\(H\)，当点\(P\)到达点\(C\)时，点\(P\)与直线\(m\)同时停止运动，设运动时间为\(t\)秒\((t > 0)\)．
\((1)\)当\(\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{1}{4}\)时，求\(\triangle AEF\)与\(\triangle ABC\)的面积比；
\((2)\)连接\(DE\)、\(DF\)，求当\(t\)为何值时，四边形\(AEDF\)为菱形？
\((3)\)连接\(PE\)、\(PF\)，在整个运动过程中，\(\triangle PEF\)的面积是否存在最大值？若存在，试求当\(\triangle PEF\)的面积最大时，线段\(BP\)的长；
\((4)\)是否存在某一时刻\(t\)，使点\(F\)在线段\(EP\)的中垂线上？若存在，请求出此时\(t\)的值；若不存在，请说明理由．