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          共50条信息

            • 1．

              阅读下面材料，解答后面的问题

              解方程：\(\dfrac{x-1}{x}- \dfrac{4x}{x-1}=0 \)．

              解：设\(y= \dfrac{x-1}{x} \)，则原方程化为：\(y- \dfrac{4}{y}=0 \)，方程两边同时乘\(y\)得：\(y^{2}-4=0\)，

              解得：\(y=±2\)，

              经检验：\(y=±2\)都是方程\(y- \dfrac{4}{y}=0 \)的解，\(∴\)当\(y=2\)时，\(\dfrac{x-1}{x}=2 \)，解得：\(x=-1\)，

              当\(y=-2\)时，\(\dfrac{x-1}{x}=-2 \)，解得：\(x=\dfrac{1}{3} \)，经检验：\(x=-1\)或\(x=\dfrac{1}{3} \)都是原分式方程的解，

              \(∴\)原分式方程的解为\(x=-1\)或 \(x=\dfrac{1}{3} .\)上述这种解分式方程的方法称为换元法．

              问题：\((1)\)若在方程\(\dfrac{x-1}{4x}- \dfrac{x}{x-1}=0 \)中，设\(y= \dfrac{x-1}{x} \)，则原方程可化为：_____；

              \((2)\)若在方程\(\dfrac{x-1}{x+1}- \dfrac{4x+4}{x-1}=0 \)中，设\(y= \dfrac{x-1}{x} \)，则原方程可化为：_____；

              \((3)\)模仿上述换元法解方程：\(\dfrac{x-1}{x+2}- \dfrac{3}{x-1}-1=0 \)．

              难度：难
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            • 2．

              已知\((x^{2}+y^{2}+2)^{2}=9\)，则\(x^{2}+y^{2}=\)_____．

              难度：难
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            • 3．

              若关于\(x\)的方程\({-2}x+m\sqrt{2018-x}+4020=0\)存在整数解，则正整数\(m\)的所有取值的和为　       　．

              难度：难
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            • 4．

              用换元法解方程\(2{{x}^{2}}+8x-\dfrac{20}{{{x}^{2}}+4x}=13\)，若设\({{x}^{2}}+4x=y\)，则原方程可化为关于\(y\)的整式方程为______________________．

              难度：难
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            • 5．

              \(14.\)若实数\(x\)、\(y\)满足\((\)\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}+2)(\)\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}-1)=0\)，则\(x\)\({\,\!}^{2}+\)\(y\)\({\,\!}^{2}=\)__________．

              难度：难
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            • 6．

              已知\(x\)为实数，且满足\((x^{2}+x)^{2}+2(x^{2}+x)-3=0\)，那么\(x^{2}+x\)的值为\((\)    \()\)


              A．\(1\)
              B．\(-3\)或\(1\)
              C．\(3\)
              D．\(-1\)或\(3\)
              难度：难
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            • 7．

              阅读下面的材料，回答问题：

              解方程\(x^{4}-5x^{2}+4=0\)，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

              设\(x^{2}=y\)，那么\(x^{4}=y^{2}\)，于是原方程可变为\(y^{2}-5y+4=0①\)，解得\(y_{1}=1\)，\(y_{2}=4\)．

              当\(y=1\)时，即：\(x^{2}=1\)，\(∴x=±1\)；

              当\(y=4\)时，即：\(x^{2}=4\)，\(∴x=±2\)；

              \(∴\)原方程有四个根：\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=-1\)，\(x_{3}=2\)，\(x_{4}=-2\)．

              在由原方程得到方程\(①\)的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想\(.\)请你利用这种思想与方法解下列方程

              \((x\)\({\,\!}^{2}\)\(+x)\)\({\,\!}^{2}\)\(-4(x\)\({\,\!}^{2}\)\(+x)-12=0\)．

              难度：难
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            • 8．

              已知\((x^{2}+y^{2}+1)(x^{2}+y^{2}-3)=5\)，则\(x^{2}+y^{2}\)的值等于______．

              难度：难
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            • 9． 阅读下面的材料，回答问题：

              解方程\(x^{4}-5x^{2}+4=0\)，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
              设\(x^{2}=y\)，那么\(x^{4}=y^{2}\)，于是原方程可变为\(y^{2}-5y+4=0\)  \(①\)，解得\(y_{1}=1\)，\(y_{2}=4\)．
              当\(y=1\)时，\(x^{2}=1\)，\(∴x=±1\)；
              当\(y=4\)时，\(x^{2}=4\)，\(∴x=±2\)；
              \(∴\)原方程有四个根：\(x_{1}=1\)，\(x_{2}=-1\)，\(x_{3}=2\)，\(x_{4}=-2\)．
              请利用上述方法解方程：\((x^{2}+x)^{2}-4(x^{2}+x)-12=0\)．
              难度：难
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