我们定义：如图\(1\)，在\(\triangle ABC\)看，把\(AB\)点绕点\(A\)顺时针旋转\(α(0^{\circ} < α < 180^{\circ})\)得到\(AB{{'}}\)，把\(AC\)绕点\(A\)逆时针旋转\(β\)得到\(AC{{'}}\)，连接\(B{{'}}C{{'}}.\)当\(α+β=180^{\circ}\)时，我们称\(\triangle A{{'}}B{{'}}C{{'}}\)是\(\triangle ABC\)的“旋补三角形”，\(\triangle AB{{'}}C{{'}}\)边\(B{{'}}C{{'}}\)上的中线\(AD\)叫做\(\triangle ABC\)的“旋补中线”，点\(A\)叫做“旋补中心”．

\((1)\)在图\(2\)，图\(3\)中，\(\triangle AB{{'}}C{{'}}\)是\(\triangle ABC\)的“旋补三角形”，\(AD\)是\(\triangle ABC\)的“旋补中线”．

\(②\)如图\(3\)，当\(∠BAC=90^{\circ}\)，\(BC=8\)时，则\(AD\)长为____________．

猜想论证：

\((2)\)在图\(1\)中，当\(\triangle ABC\)为任意三角形时，猜想\(AD\)与\(BC\)的数量关系，并给予证明．

拓展应用

\((3)\)如图\(4\)，在四边形\(ABCD\)，\(∠C=90^{\circ}\)，\(∠D=150^{\circ}\)，\(BC=12\)，\(CD=2\)，\(DA=6.\)若在四边形内部存在点\(P\)，使\(\triangle PDC\)是\(\triangle PAB\)的“旋补三角形”，则直接求出\(\triangle PAB\)的“旋补中线”长为_________________．

已知正方形\(ABCD\)，探究以下问题：

\((1)\)如图\(1\)，点\(F\)在\(BC\)上，作\(FE⊥BD\)于点\(E\)，取\(DF\)的中点\(G\)，连接\(EG\)、\(CG\)，将\(\triangle EGC\)沿直线\(EC\)翻折到\(\triangle EG′C\)，求证：四边形\(EGCG′\)是菱形；

\((2)\)如图\(2\)，点\(F\)是\(BC\)外一点，作\(FE⊥BC\)于点\(E\)，且\(BE=EF\)，连接\(DF\)，取\(DF\)的中点\(G\)，将\(\triangle EGC\)沿直线\(EC\)翻折到\(\triangle EG′C\)，作\(FM⊥CD\)于点\(M\)，请问\((1)\)中的结论”四边形\(EGCG′\)是菱形”是否依然成立，并说明理由；

\((3)\)在\((2)\)的条件下，若图\(2\)中\(AB=4\)，设\(BE\)长为\(x\)，四边形\(EGCG′\)的面积为\(S\)，请求出\(S\)关于\(x\)的函数关系式，并说明理由．

如图，正方形\(ABCD\)中，\(AD=5\)，点\(E\)、\(F\)是正方形\(ABCD\)内的两点，且\(AE=FC=4\)，\(BE=DF=3\)，则以\(EF\)为直径的圆的面积为 【 】

平面直角坐标系中，边长为 \(a\)的正方形\(OABC\)如图放置．

\((1)①\)如图\(1\)，直接写出点\(B\)的坐标\(B( \)____ ， ____ \()\)

\(②\)如图\(1\)，\(a=\sqrt{5}\)，点\(D\)为\(OC\)上一点，连接\(BD\)，分别过点\(C\)、\(A\)作\(BD\)的垂线，垂足为\(M\)、\(N\)， 若\(CM=1\)，求\(N\)点的坐标\(;\)

\((2)\)如图\(2\)，连接对角线\(AC\)，点\(P\)为线段\(BC\)上一点\((\)不包含\(B\)、\(C)\)，以\(OP\)为直角边向上作等腰\(Rt\triangle EOP\)，\(∠EOP=90^{\circ}\)，\(EP\)交\(AC\)于\(H\)，

求证： \(①\)连接\(AE\)，求证：\(\triangle AOE\)≌\(\triangle COP\)

\(②\)连接\(OH\)，\(OH=\dfrac{1}{2}EP\)．

以下条件不能判别四边形\(ABCD\)是矩形的是

平面上，\(Rt\triangle ABC\)与直径为\(CE\)的半圆\(O\)如图\(1\)摆放，\(∠B=90^{\circ}\)，\(AC=2CE=m\)，\(BC=n\)，半圆\(O\)交\(BC\)边于点\(D\)，将半圆\(O\)绕点\(C\)按逆时针方向旋转，点\(D\)随半圆\(O\)旋转且\(∠ECD\)始终等于\(∠ACB\)，旋转角记为\(α(0^{\circ}\leqslant α\leqslant 180^{\circ})\)．

\((1)\)当\(α=0^{\circ}\)时，连接\(DE\)，则\(∠CDE=\)________\({\,\!}^{\circ}\)，\(CD=\)________；

\((2)\)试判断：旋转过程中\(\dfrac{BD}{AE}\)的大小有无变化？请仅就图\(2\)的情形给出证明；

\((3)\)若\(m=10\)，\(n=8\)，当\(α=∠ACB\)时，求线段\(BD\)的长；

\((4)\)若\(m=6\)，\(n=4 \sqrt{2} \)，当半圆\(O\)旋转至与\(\triangle ABC\)的边相切时，直接写出线段\(BD\)的长．