知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，$G$为$BC$的中点，且$DG⊥BC$，$DE⊥AB$于$E$，$DF⊥AC$于$F$，$BE=CF$．

$(1)$求证：$AD$是$∠BAC$的平分线；

$(2)$如果$AB=8$，$AC=6$，求$AE$的长．

难度：难

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2．如图$1$，点$P$为$∠MON$的平分线上一点，$∠APB$的两边与射线$OM$、$ON$分别交于点$A$、$B.$定义：如果$∠APB$绕点$P$旋转时始终满足$OA· OB=OP^{2}$，那么我们就把$∠APB$叫做$∠MON$的相似角．

$(1)$已知$∠APB$叫做$∠MON$的相似角，求证：$∠1 =∠2$；

$(2)$如图$2$，已知$∠MON=90^{\circ}$，点$P$为$∠MON$的平分线上一点，以点$P$为顶点的角的两边分别与射线$OM$，$ON$交于$A$，$B$两点，且$∠APB=135^{\circ}.$ 求证：$∠APB$是$∠MON$的相似角；

$(3)$如图$1$，已知$∠MON=60^{\circ}$，$OP=2$，若$∠APB$是$∠MON$的相似角，连结$AB.$求$∠APB$的度数和$\triangle AOB$的面积．

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3．

如图，在数轴上$A$，$B$两点对应的数分别是$6$， $-6$，$\angle DCE=90{}^\circ (C$与$O$重合，$D$点在数轴的正半轴上$)$

$(1)$如图$1$，若$CF$ 平分$\angle ACE$，则$\angle AOF=$_________$;$

$(2)$如图$2$，将$\angle DCE$沿数轴的正半轴向右平移$t(0 $ $C$

$②$猜想$\angle BCE$和$\alpha $的数量关系，并证明$;$

$(3)$如图$3$，开始$\angle {{D}_{1}}{{C}_{1}}{{E}_{1}}$与$\angle DCE$重合，将$\angle DCE$沿数轴的正半轴向右平移$t(0 < t < 3)$个单位，再绕点顶点$C$逆时针旋转$30t$度，作$CF$平分$\angle ACE$，此时记$\angle DCF=\alpha $，与此同时，将$\angle {{D}_{1}}{{C}_{1}}{{E}_{1}}$沿数轴的负半轴向左平移$t(0 < t < 3)$个单位，再绕点顶点${{C}_{1}}$顺时针旋转$30t$度，作${{C}_{1}}{{F}_{1}}$平分$\angle A{{C}_{1}}{{E}_{1}}$，记$\angle {{D}_{1}}{{C}_{1}}{{F}_{1}}=\beta $，若$\alpha $与$\beta $满足$\left| \alpha -\beta \right|=20{}^\circ $，请直接写出$t$的值为_________．

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4．
已知：如图，在$Rt\triangle ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠B=60^{\circ}$，$AD$，$CE$是角平分线，$AD$与$CE$相交于点$F$，$FM⊥AB$，$FN⊥BC$，垂足分别为$M$，$N.$求证：$FE=FD$．

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5．
如图，四边形$ABDC$中，$∠D=∠ABD=90^{\circ}$，点$O$为$BD$的中点，且$OA$平分$∠BAC$．
$(1)$求证：$OC$平分$∠ACD$；
$(2)$求证：$OA⊥OC$；
$(3)$求证：$AB+CD=AC$．

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6．
如图，$AD$是${\triangle }{ABC}$的角平分线，$DF{⊥}AB$，垂足为$F{,}{DE}{=}{DG}{,}{\triangle }{ADG}$和${\triangle }{AED}$的面积分别为$60$和$38$，则${\triangle }{EDF}$的面积为．

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7．

如图，直线$a$$/\!/$$b$。点$A$为直线$a$上的动点，点$B$为直线$a$、$b$之间的定点，点$C$为直线$b$上的定点。

$(1)$当$∠DAB$与$∠ECB$互余$($如图一$)$时，$AB$与$BC$存在怎样的位置关系？请说明理由。

$(2)$在$(1)$的条件下，将等腰直角三角尺的一个锐角顶点与点$B$重合放置$($如图二$)$。$BM$平分$∠ABP$，交直线$a$于点$M$。$BN$平分$∠QBC$，交直线$b$于点$N$。当三角尺绕点$B$转动，且$BC$始终在$∠PBQ$的内部时，$∠DMB+∠ENB$的值是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围。

$(3)$如图，点$F(F$在点$A$的右边$)$为直线$a$上一点，使得$∠AFB=∠ABF$，$∠ABC$的平分线交直线$a$于点$G$。当点$A$移动时，求$\dfrac{{ }\angle {FBG}}{\angle {ECB}}$的值。

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8．
如图，在$Rt\Delta ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD\bot AB$于$D$，$BE$平分$\angle ABC$，交$CD$于$F$，交$AC$于$E$ ．

$(1)$如图$1$所示，若$EH\bot AB$于$H$，求证：四边形$CEHF$是菱形．

$(2)$如图$2$所示，若$CH$平分$\angle ACD$，交$AB$于$H$，连结$EH .$则四边形$CEHF$还是菱形吗？试说明理由．

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9．
已知，如图，在三角形$ABC$中，$∠C=90^{\circ}$，$∠1=∠2$，$CD=15$，$BD=25$，求$AC$的长．

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10．图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．
（1）蜘蛛在顶点A′处．
①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．
②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．
（2）在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．

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