知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知，等边三角形\(ABC\)的边长为\(5\)，点\(P\)在线段\(AB\)上，点\(D\)在线段\(BC\)上，且\(\triangle PDE\)是等边三角形．
\((1)\)初步尝试：若点\(P\)与点\(A\)重合时\((\)如图\(1)\)，\(BD+BE=\)______．
\((2)\)类比探究：将点\(P\)沿\(AB\)方向移动，使\(AP=1\)，其余条件不变\((\)如图\(2)\)，试计算\(BD+BE\)的值是多少？
\((3)\)拓展迁移：如图\(3\)，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(∠BAC=70^{\circ}\)，点\(P\)在线段\(AB\)的延长线上，点\(D\)在线段\(CB\)的延长线上，在\(\triangle PDE\)中，\(PD=PE\)，\(∠DPE=70^{\circ}\)，设\(BP=a\)，请直接写出线段\(BD\)、\(BE\)之间的数量关系\((\)用含\(a\)的式子表示\()\)

难度：难

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2．
我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为\(20\)尺，底面周长为\(3\)尺，有葛藤自点\(A\)处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点\(B\)处，则问题中葛藤的最短长度是 ______ 尺\(.\)

难度：难

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3． \(a\)、\(b\)、\(c\)是\(\triangle ABC\)的三边长，且关于\(x\)的方程\(x^{2}-2cx+a^{2}+b^{2}=0\)有两个相等的实数根，这个三角形是( )

A．等边三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

难度：难

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4．如图，矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(BC=m(m > 1)\)，点\(E\)是\(AD\)边上一定点，且\(AE=1\)．

\((1)\)当\(m=3\)时，\(AB\)上存在点\(F\)，使\(\triangle AEF\)与\(\triangle BCF\)相似，求\(AF\)的长度．

\((2)\)如图\(②\)，当\(m=3.5\)时\(.\)用直尺和圆规在\(AB\)上作出所有使\(\triangle AEF\)与\(\triangle BCF\)相似的点\(F.(\)不写作法，保留作图痕迹\()\)

\((3)\)对于每一个确定的\(m\)的值，\(AB\)上存在几个点\(F\)，使得\(\triangle AEF\)与\(\triangle BCF\)相似？\((\)直接写出答案\()\)

难度：难

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5．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，在线段\(AB\)上，动点\(M\)从点\(A\)出发向点\(B\)做匀速运动，同时动点\(N\)从\(B\)出发向点\(A\)做匀速运动，当点\(M\)、\(N\)其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点\(M\)、\(N\)做\(AB\)的垂线，分别交两直角边于点\(D\)、\(E\)，连接\(DE\)，若运动时间为\(t\)秒，在运动过程中四边形\(DENM\)总为矩形\((\)点\(M\)、\(N\)重合除外\()\)．
\((1)\)图中共有 ______ 组不同的相似三角形\((\)不包括点\(M\)、\(N\)相遇后出现的三角形\()\)；
\((2)\)若点\(M\)的运动速度为每秒\(1\)个单位长度，求点\(N\)的运动速度；
\((3)\)当\(t\)为多少秒时，矩形\(DENM\)为正方形？

难度：难

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6．
已知点\(A(3,4)\)，点\(B\)为直线\(x=-1\)上的动点，设\(B(-1,y)\)．
\((1)\)如图\(①\)，若\(\triangle ABO\)是等腰三角形且\(AO=AB\)时，求点\(B\)的坐标；
\((2)\)如图\(②\)，若点\(C(x,0)\)且\(-1 < x < 3\)，\(BC⊥AC\)垂足为点\(C\)；
\(①\)当\(x=0\)时，求\(\tan ∠BAC\)的值；
\(②\)若\(AB\)与\(y\)轴正半轴的所夹锐角为\(α\)，当点\(C\)在什么位置时\(\tan α\)的值最大？

难度：难

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7．
如图，已知线段\(a\)，求作直角三角形，使一条直角边等于\(a\)，另一条直角边等于\(\dfrac{{1}}{{2}}a(\)要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明\()\)．

难度：难

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8．

【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：\(①\)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；\(②\)同弧所对的圆周角相等．

【初步体验】如图，已知\(\triangle \)\(ABC\)，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．

\((1)\)在图\(①\)中 \(AC\)边上找点 \(D\)，使 \(DB\)\(+\) \(DC\)\(=\) \(AC\)；

\((2)\)在图\(②\)中作\(\triangle \)\(BCE\)，使\(∠\)\(BCE\)\(=∠\)\(BAC\)，\(CE\)\(=\)\(BE\)．
【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：
\((3)\)如图\(③\)，已知线段 \(a\)和等边\(\triangle \) \(ABC\)，作\(\triangle \) \(BCM\)，使\(∠\) \(BMC\)\(=∠\) \(BAC\)， \(BM\)\(+\) \(CM\)\(=\) \(a\)．

他的做法是；\(1\)画\(\triangle \)\(ABC\)的外接圆；\(2\)以\(A\)为圆心、\(AB\)长为半径画\(⊙\)\(A\)；\(3\)以\(C\)为圆心、\(a\)为半径画弧与\(⊙\)\(A\)交于点\(F\)；\(4\)连接\(CF\)与\(\triangle \)\(ABC\)的外接圆交于点\(M\)，则\(\triangle \)\(BCM\)是要画的三角形\(.\)请你给出证明，并直接写出这样的点\(M\)有个\(.\)

难度：难

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9．如图，将弧\(BC\)沿弦\(BC\)折叠交直径\(AB\)于点\(D\)，若\(AD=5\)，\(DB=7\)，则\(BC\)的长是．

难度：难

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