知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，\(\triangle ABC\)内接于\(⊙O\)，\(AB=AC\)，\(CO\)的延长线交\(AB\)于点\(D\)

\((1)\) 求证：\(AO\)平分\(∠BAC\)

\((2)\) 若\(BC=6\)，\(\sin ∠BAC=\dfrac{3}{5}\)，求\(AC\)和\(CD\)的长

难度：难

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2．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

难度：难

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3．
如图，\(DE\)是\(\triangle ABC\)的中位线，过点\(C\)作\(CF/\!/BD\)交\(DE\)的延长线于点\(F\)
\((1)\)求证：\(EF=DE\)；
\((2)\)若\(AC=BC\)，判断四边形\(ADCF\)的形状．

难度：难

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4．
如图，四边形\(ABCD\)中，已知\(AB=CD\)，点\(E\)、\(F\)分别为\(AD\)、\(BC\)的中点，延长\(BA\)、\(CD\)，分别交射线\(FE\)于\(P\)、\(Q\)两点\(.\)求证：\(∠BPF=∠CQF\)．

难度：难

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5．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)的中点，过点\(E\)作\(EF/\!/AB\)，交\(BC\)于点\(F\)．
\((1)\)求证：四边形\(DBFE\)是平行四边形；
\((2)\)当\(\triangle ABC\)满足什么条件时，四边形\(DBFE\)是菱形？为什么？

难度：难

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6．
如图，等边\(\triangle ABC\)的边长是\(2\)，\(D\)、\(E\)分别为\(AB\)、\(AC\)的中点，过\(E\)点作\(EF/\!/DC\)交\(BC\)的延长线于点\(F\)，连接\(CD\)．
\((1)\)求证：四边形\(CDEF\)是平行四边形；
\((2)\)求\(EF\)的长．

难度：难

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7．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，点\(E\)，\(F\)分别是边\(AC\)，\(AB\)的中点，延长\(BC\)到点\(D\)，使\(2CD=BC\)，连接\(DE\)．
\((1)\)如果\(AB=10\)，求\(DE\)的长；
\((2)\)延长\(DE\)交\(AF\)于点\(M\)，求证：点\(M\)是\(AF\)的中点．

难度：难

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8．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AD⊥BC\)于\(D\)，点\(D\)，\(E\)，\(F\)分别是\(BC\)，\(AB\)，\(AC\)的中点\(.\)求证：四边形\(AEDF\)是菱形．

难度：难

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9．
如图\(①\)，\(\triangle ABC\)与\(\triangle CDE\)是等腰直角三角形，直角边\(AC\)、\(CD\)在同一条直线上，点\(M\)、\(N\)分别是斜边\(AB\)、\(DE\)的中点，点\(P\)为\(AD\)的中点，连接\(AE\)、\(BD\)．

图\(①\) 图\(②\) 图\(③\)

\((1)\)猜想\(PM\)与\(PN\)的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

\((2)\)现将图\(①\)中的\(\triangle CDE\)绕着点\(C\)顺时针旋转\(\alpha (0{}^\circ < \alpha < 90{}^\circ )\)，得到图\(②\)，\(AE\)与\(MP\)、\(BD\)分别交于点\(G\)、\(H.\)请判断\((1)\)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

\((3)\)若图\(②\)中的等腰直角三角形变成直角三角形，使\(BC=kAC\)，\(CD=kCE\)，如图\(③\)，写出\(PM\)与\(PN\)的数量关系，并加以证明．

难度：难

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10．
如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，点\(O\)在\(AB\)上，经过点\(A\)的\(⊙O\)与\(BC\)相切于点\(D\)，与\(AC\)，\(AB\)分别相交于点\(E\)，\(F\)，连接\(AD\)与\(EF\)相交于点\(G\)．

\((1)\)求证：\(AD\)平分\(∠CAB\)；

\((2)\)若\(OH⊥AD\)于点\(H\)，\(FH\)平分\(∠AFE\)，\(DG=3\)．\(①\)求\(\tan ∠DFH\)的值；\(②\)求\(OH\)的长度．

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