知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图\(1\)，在\(\triangle ABC\)中，\(BE\)平分\(∠ABC\)，\(CE\)平分\(∠ACB\)，若\(∠A=82^{\circ}\)，则\(∠BEC=\) ______ ；若\(∠A=a^{\circ}\)，则\(∠BEC=\) ______ ．
【探究】
\((1)\)如图\(2\)，在\(\triangle ABC\)中，\(BD\)，\(BE\)三等分\(∠ABC\)，\(CD\)，\(CE\)三等分\(∠ACB\)，若\(∠A=a^{\circ}\)，则\(∠BEC=\) ______ ；
\((2)\)如图\(3\)，\(O\)是\(∠ABC\)与外角\(∠ACD\)的平分线\(BO\)和\(CO\)的交点，试分析\(∠BOC\)和\(∠A\)有怎样的关系？请说明理由；
\((3)\)如图\(4\)，\(O\)是外角\(∠DBC\)与外角\(∠BCE\)的平分线\(BO\)和\(CO\)的交点，则\(∠BOC\)与\(∠A\)有怎样的关系？请说明理由．

难度：难

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2．

如图，已知\(Rt\Delta ABC\)中，\(\angle ACB=90{}^\circ \)，\(AC=BC\)，\(D\)是线段\(AB\)上的一点\((\)不与\(A\)、\(B\)重合\().\) 过点\(B\)作\(BE⊥CD\)，垂足为\(E.\)将线段\(CE\)绕点\(C\)顺时针旋转\(90{}^\circ \)，得到线段\(CF\)，连结\(EF.\)设\(\angle BCE\)度数为\(\alpha \)．

\((1)①\)补全图形\(.\) \(②\)试用含\(\alpha \)的代数式表示\(\angle CDA\)．

\((2)\)若\(\dfrac{EF}{AB}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) ，求\(\alpha \)的大小．

\((3)\)直接写出线段\(AB\)、\(BE\)、\(CF\)之间的数量关系．

难度：难

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3．
若\(∠C=α\)，\(∠EAC+∠FBC=β\)

\((1)\)如图\(①\)，\(AM\)是\(∠EAC\)的平分线，\(BN\)是\(∠FBC\)的平分线，若\(AM/\!/BN\)，则\(α\)与\(β\)有何关系？并说明理由．
\((2)\)如图\(②\)，若\(∠EAC\)的平分线所在直线与\(∠FBC\)平分线所在直线交于\(P\)，试探究\(∠APB\)与\(α\)、\(β\)的关系是 ______ \(.(\)用\(α\)、\(β\)表示\()\)
\((3)\)如图\(③\)，若\(α\geqslant β\)，\(∠EAC\)与\(∠FBC\)的平分线相交于\(P_{1}\)，\(∠EAP_{1}\)与\(∠FBP_{1}\)的平分线交于\(P_{2}\)；依此类推，则\(∠P_{5}=\) ______ \(.(\)用\(α\)、\(β\)表示\()\)

难度：难

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4．
如图，\(∠ABC=∠ACB\)，\(AD\)、\(BD\)、\(CD\)分别平分\(\triangle ABC\)的外角\(∠EAC\)、内角\(∠ABC\)、外角\(∠ACF.\)以下结论：
\(①AD/\!/BC\)；\(②∠ACB=2∠ADB\)；\(③∠ADC=90^{\circ}-∠ABD\)；\(④BD\)平分\(∠ADC\)；\(⑤∠BDC= \dfrac {1}{2}∠BAC\)．
其中正确的结论有 ______ \((\)填序号\()\)

难度：难

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5．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(∠ABC\)的角平分线与\(∠ACB\)的外角\(∠ACD\)的平分线交于\(A_{1}\)．

\((1)\)当\(∠A\)为\(70^{\circ}\)时，
\(∵∠ACD-∠ABD=∠\) ______
\(∴∠ACD-∠ABD=\) ______ \({\,\!}^{\circ}\)
\(∵BA_{1}\)、\(CA_{1}\)是\(∠ABC\)的角平分线与\(∠ACB\)的外角\(∠ACD\)的平分线
\(∴∠A_{1}CD-∠A_{1}BD= \dfrac {1}{2}(∠ACD-∠ABD)\)
\(∴∠A_{1}=\) ______ \({\,\!}^{\circ}\)；
\((2)∠A_{1}BC\)的角平分线与\(∠A_{1}CD\)的角平分线交于\(A_{2}\)，\(∠A_{2}BC\)与\(A_{2}CD\)的平分线交于\(A_{3}\)，如此继续下去可得\(A_{4}\)、\(…\)、\(A_{n}\)，请写出\(∠A\)与\(∠A_{n}\)的数量关系 ______ ；
\((3)\)如图\(2\)，四边形\(ABCD\)中，\(∠F\)为\(∠ABC\)的角平分线及外角\(∠DCE\)的平分线所在的直线构成的角，若\(∠A+∠D=230\)度，则\(∠F=\) ______ ．
\((4)\)如图\(3\)，若\(E\)为\(BA\)延长线上一动点，连\(EC\)，\(∠AEC\)与\(∠ACE\)的角平分线交于\(Q\)，当\(E\)滑动时有下面两个结论：\(①∠Q+∠A_{1}\)的值为定值；\(②∠Q-∠A_{1}\)的值为定值\(.\)其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．

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6．

在\(Rt\triangle ABC\)中， \(∠ACB=90^{\circ}\)，\(CD\)是\(AB\)边的中线，\(DE⊥BC\)于\(E\)，连结\(CD\)，点\(P\)在射线\(CB\)上\((\)与\(B\)，\(C\)不重合\()\)．

\((1)\)如果\(∠A=30^{\circ}\)

\(①\)如图\(1\)，\(∠DCB= \)_________\({\,\!}^{\circ}\)

\(②\)如图\(2\)，点\(P\)在线段\(CB\)上，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点\(D\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)，得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，补全图\(2\)猜想\(CP\)、\(BF\)之间的数量关系，并证明你的结论；

\(( 2 )\)如图\(3\)，若点\(P\)在线段\(CB\) 的延长线上，且\(∠A=\alpha \) \((0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ})\) ，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点逆时针旋转\(2\alpha \)得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，请直接写出\(DE\)、\(BF\)、\(BP\)三者的数量关系\((\)不需证明\()\)．

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7．
探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和\(.\)那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？

已知：如图\(1\)，\(∠FDC\)与\(∠ECD\)分别为\(\triangle ADC\)的两个外角，试探究\(∠A\)与\(∠FDC+∠ECD\)的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图\(2\)，在\(\triangle ADC\)中，\(DP\)、\(CP\)分别平分\(∠ADC\)和\(∠ACD\)，试探究\(∠P\)与\(∠A\)的数量关系．
探究三：若将\(\triangle ADC\)改为任意四边形\(ABCD\)呢？
已知：如图\(3\)，在四边形\(ABCD\)中，\(DP\)、\(CP\)分别平分\(∠ADC\)和\(∠BCD\)，试利用上述结论探究\(∠P\)与\(∠A+∠B\)的数量关系．

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8．
如图\(1\)，\(∠MON=90^{\circ}\)，点\(A\)、\(B\)分别在\(OM\)、\(ON\)上运动\((\)不与点\(O\)重合\()\)．
\((1)\)若\(BC\)是\(∠ABN\)的平分线，\(BC\)的反方向延长线与\(∠BAO\)的平分线交与点\(D\)．
\(①\)若\(∠BAO=60^{\circ}\)，则\(∠D=\) ______ \({\,\!}^{\circ}.\)
\(②\)猜想：\(∠D\)的度数是否随\(A\)，\(B\)的移动发生变化？并说明理由．
\((2)\)若\(∠ABC= \dfrac {1}{3}∠ABN\)，\(∠BAD= \dfrac {1}{3}∠BAO\)，则\(∠D=\) ______ \({\,\!}^{\circ}.\)
\((3)\)若将“\(∠MON=90^{\circ}\)”改为“\(∠MON=α(0^{\circ} < α < 180^{\circ})\)”，\(∠ABC= \dfrac {1}{n}∠ABN\)，\(∠BAD= \dfrac {1}{n}∠BAO\)，其余条件不变，则\(∠D=\) ______ \({\,\!}^{\circ}(\)用含\(α\)、\(n\)的代数式表示\()\)

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9．如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC= ，若BM、CM分别平分∠ABC，∠ACB的外角平分线，则∠M= ．

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10．
\((\)Ⅰ\()(1)\)问题引入
如图\(①\)，在\(\triangle ABC\)中，点\(O\)是\(∠ABC\)和\(∠ACB\)平分线的交点，若\(∠A=α\)，则\(∠BOC=\) ______ \((\)用\(α\)表示\()\)；
\((2)\)拓展研究
如图\(②\)，\(∠CBO= \dfrac {1}{3}∠ABC\)，\(∠BCO= \dfrac {1}{3}∠ACB\)，\(∠A=α\)，试求\(∠BOC\)的度数 ______ \((\)用\(α\)表示\()\)
\((3)\)归纳猜想
若\(BO\)、\(CO\)分别是\(\triangle ABC\)的\(∠ABC\)、\(∠ACB\)的\(n\)等分线，它们交于点\(O\)，\(∠CBO= \dfrac {1}{n}∠ABC\)，\(∠BCO= \dfrac {1}{n}∠ACB\)，\(∠A=α\)，则\(∠BOC=\) ______ \((\)用\(α\)表示\()\)．
\((\)Ⅱ\()\)类比探索
\((1)\)特例思考
如图\(③\)，\(∠CBO= \dfrac {1}{3}∠DBC\)，\(∠BCO= \dfrac {1}{3}∠ECB\)，\(∠A=α\)，求\(∠BOC\)的度数\((\)用\(α\)表示\()\)．
\((2)\)一般猜想
若\(BO\)、\(CO\)分别是\(\triangle ABC\)的外角\(∠DBC\)、\(∠ECB\)的\(n\)等分线，它们交于点\(O\)，\(∠CBO= \dfrac {1}{n}∠DBC\)，\(∠BCO= \dfrac {1}{n}∠ECB\)，\(∠A=α\)，请猜想\(∠BOC=\) ______ \((\)用\(α\)表示\()\)．

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