探索与发现

探索：如图，在直角坐标系中，正方形\(ABCO\)的点\(B\)坐标\((4,4)\)，对角线\(AC\)上一动点\(E\)，连接\(BE\)，过\(E\)作\(DE⊥BE\)交\(OC\)于点\(D\)，连接\(DE\)．

\((1)\)   证明：\(BE=DE\)；

小明给出的思路为：过\(E\)作\(y\)轴的平行线交\(AB\)，\(x\)轴于点\(F\)、\(H.\)请完善小明的证明过程．

\((2)\)若点\(D\)坐标为\((3,0)\)，则点\(E\)坐标为         ；若点\(D\)坐标为\((a,0)\)，则点\(E\)坐标为          ；

发现：

\((3)\)   在直角坐标系第一象限中，若点\(B\)坐标\((5,3)\)，点\(D\)坐标\((3,0)\)，找一点\(E\)，使得\(\triangle BDE\)为等腰直角三角形，直接写出点\(E\)坐标．

已知：\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)均为等腰直角三角形，\(∠BAC=∠DAE=90^{0}\)，点\(D\)是等腰直角三角形\(ABC\)斜边\(BC\)所在直线上一点\((\)不与点\(B\)重合\()\)，

\((1)\)如图\(1\)，当点\(D\)在线段\(BC\)上时，线段\(CE\)、\(BD\)之间的位置关系为    ，数量关系为     ．

\((2)\)如图\(2\)，当点\(D\)在线段\(BC\)延长线上时，探究\(AD\)、\(BD\)、\(CD\)三条线段之间的数量关系，写出结论并证明；

\((3)\)若\(BD= \sqrt{3} CD\)，直接写出\(∠BAD\)的度数．

我们定义：如图\(1\)，在\(\Delta ABC\)看，把\(AB\)点\(A\)顺时针旋转\(\alpha \left( {{0}^{0}} < \alpha < {{180}^{0}} \right)\)得到\(A{B}{{{'}}}\)，把\(AC\)绕点\(A\)逆时针旋转\(\beta \)得到\(A{C}{{{'}}}\)，连接\({B}{{{'}}}{C}{{{'}}}.\)当\(\alpha +\beta ={{180}^{0}}\)时，我们称\(\Delta {A}{{{'}}}{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)是\(\Delta ABC\)的“旋补三角形”，\(\Delta A{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)边\({B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)上的中线\(AD\)叫做\(\Delta ABC\)的“旋补中线”，点\(A\)叫做“旋补中心”．

特例感知：

\((1)\)在图\(2\)，图\(3\)中，\(\Delta A{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)是\(\Delta ABC\)的“旋补三角形”，\(AD\)是\(\Delta ABC\)的“旋补中心”．

\(①\)如图\(2\)，当\(\Delta ABC\)为等边三角形时，\(AD\)与\(BC\)的数量关系为\(AD=\)_____________\(BC\)；

\(②\)如图\(3\)，当\(\angle BAC={{90}^{0}},BC=8\)时，则\(AD\)长为_________________．

猜想论证：

\((2)\)在图\(1\)中，当\(\Delta ABC\)为任意三角形时，猜想\(AD\)与\(BC\)的数量关系，并给予证明．

拓展应用

\((3)\)如图\(4\)，在四边形\(ABCD\)，\(\angle C={{90}^{0}},\angle D={{150}^{0}},BC=12\)，\(CD=2\sqrt{3},DA=6.\)在四边形内部是否存在点\(P\)，使\(\Delta PDC\)是\(\Delta PAB\)的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求\(\Delta PAB\)的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=BC=2\)，点\(D\)，\(E\)分别在边\(BC\)，\(AB\)上，连接\(AD\)，\(ED\)，且\(∠BDE=∠ADC.\)过\(E\)作\(EF⊥AD\)交边\(AC\)于点\(F\)，连接\(DF\)．

\((1)\)求证：\(∠AEF=∠BED\)；

\((2)\)过\(A\)作\(AG/\!/ED\)交\(BC\)的延长线于点\(G\)，设\(CD=x\)，\(CF=y\)，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；

\((3)\)当\(\triangle DEF\)是以\(DE\)为腰的等腰三角形时，求\(CD\)的长．

如图，在\({\triangle }{ABC}\)中，\({∠}{ACB}{=}90^{{∘}}{,}D\)是\(AB\)上的点，过点\(D\)作 \(DE{⊥}AB\) 交\(BC\)于点\(F\)，交\(AC\)的延长线于点\(E\)，连接\({CD}{,}{∠}{DCA}{=}{∠}{DAC}\)，则下列结论正确的有\(({  }){①}{∠}{DCB}{=}{∠}B\)；\({②}{CD}{=}\dfrac{1}{2}{AB}\)；\({③\triangle }{ADC}\)是等边三角形；\({④}\)若\({∠}E{=}30^{{∘}}\)，则\({DE}{=}{EF}{+}{CF}\)．

如图，抛物线\(y=x^{2}+bx+c\)与直线\(y=x-3\)交于\(A\)、\(B\)两点，其中点\(A\)在\(y\)轴上，点\(B\)坐标为\((-4,-5)\)，点\(P\)为\(y\)轴左侧的抛物线上一动点，过点\(P\)作\(PC⊥x\)轴于点\(C\)，交\(AB\)于点\(D\)．

\((1)\)求抛物线的解析式；

\((2)\)以\(O\)，\(A\)，\(P\)，\(D\)为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点\(P\)的坐标；若不存在，说明理由．

\((3)\)当点\(P\)运动到直线\(AB\)下方某一处时，过点\(P\)作\(PM⊥AB\)，垂足为\(M\)，连接\(PA\)使\(\triangle PAM\)为等腰直角三角形，请直接写出此时点\(P\)的坐标．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(∠BAC=40^{\circ}\)，在直线\(AC\)上找一点\(P\)，使\(\triangle ABP\)是等腰三角形，则\(∠APB\)的度数为___                     \(\_.\)