知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图\(1\)，在正三角形\(ABC\)内有一点\(P\)，且\(PA=3\)，\(PB=4\)，\(PC=5\)，求\(∠APB\)的度数．
小伟是这样思考的：如图\(2\)，利用旋转和全等的知识构造\(\triangle AP′C\)，连接\(PP′\)，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．
请你回答：图\(1\)中\(∠APB\)的度数等于 ______ ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
\((1)\)如图\(3\)，在正方形\(ABCD\)内有一点\(P\)，且\(PA=2 \sqrt {2}\)，\(PB=1\)，\(PD= \sqrt {17}\)，则\(∠APB\)的度数等于 ______ ，正方形的边长为 ______ ；
\((2)\)如图\(4\)，在正六边形\(ABCDEF\)内有一点\(P\)，且\(PA=2\)，\(PB=1\)，\(PF= \sqrt {13}\)，则\(∠APB\)的度数等于 ______ ，正六边形的边长为 ______ ．

难度：难

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3．

如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若半圆的半径为\(5cm\)，则小正方形的边长为\((\)　　\()\)

A．\(2cm\)

B．\(2.5cm\)

C．\( \sqrt {5}cm\)

D．\( \dfrac {5 \sqrt {3}}{3}cm\)

难度：难

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4．

以半径为\(2\)的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是\((\)　　\()\)

A．\( \dfrac { \sqrt {3}}{4}\)

B．\( \dfrac { \sqrt {3}}{2}\)

C．\( \dfrac { \sqrt {2}}{4}\)

D．\( \dfrac { \sqrt {2}}{2}\)

难度：难

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5．

如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前\(3\)个正五边形，要完成这一圆环还需______个正五边形；

难度：难

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6．
请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分。

\((1)\)圆内接正六边形的边心距为\(2\sqrt{3}\)，则这个正六边形的面积为____________\({{{cm}}^{2}}\)。

\((2)\)如图，\(AB\)、\(CD\)是两栋楼，且\(AB=CD=30m\)，两楼间距\(AC=24m\)，当太阳光与水平线的夹角为\(30^{\circ}\)时，\(AB\)楼在\(CD\)楼上的影子是 \(m\)。\((\)精确到\(0.1m)\)

难度：难

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7．如图，\(⊙O\)的半径为\( \sqrt {2}\)，\(⊙O\)的内接一个正多边形，边心距为\(1\)，求它的中心角、边长、面积．

难度：难

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8．
如图，边长为\( \sqrt{6} \)的正方形\(ABCD\)的顶点\(A\)、\(B\)在一个半径为\( \sqrt{6} \)的圆上，顶点\(C\)、\(D\)在圆内，将正方形\(ABCD\)沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动\(.\)当点\(C\)第一次落在圆上时，点\(C\)运动的路径长为　　；

难度：难

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9．

归纳猜想：同学们，让我们一起进行一次研究性学习：

\((1)\)如图\(1\)已知正三角形\(ABC\)的中心为\(O\)，半径为\(R\)，将其沿直线\(l\)向右翻滚，当正三角形翻滚一周时，其中心\(O\)经过的路程是多少？

思考：当正三角形\(ABC\)向右翻滚一周时，其中心\(O\)经过的路线是三条等弧，这些弧的半径为\(R\)，所对的圆心角为\(120^{\circ}\)，所以其中心经过的路程为：\(\dfrac{120\pi R}{180}\times 3=2\pi R\)

问题解决：

\((2)\)如图\(2\)，将半径为\(R\)的正方形沿直线\(l\)向右翻滚，当正方形翻滚一周时，其中心\(O\)经过的路程是多少？\((\)直接写出答案\()\)

\((3)\)猜想：把正多边形翻滚一周，其中心\(O\)所经过的路程是多少\((R\)为正多边形的半径，可参看图\(3)\)？请说明理由．

\((4)\)进一步猜想：任何多边形都有一个外接圆，若将任意圆内接多边形翻滚一周时，其外心所经过的路程是否是一个定值\((R\)为多边形外接圆的半径\()\)？为什么？请以任意三角形为例说明\((\)如图\(4)\)．

\((5)\)通过以上猜想你可得到什么样的结论？请写出来．

难度：难

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10．
正六边形的边长为\(2\)，则它的边心距为_______．

难度：难

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