【问题提出】

我们借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进一步探究．

【初步思考】

\((1)\)我们已学习了\(4\)种平行四边形的判定方法\(.\)请你写出除定义外其它的三个判定定理．

     定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

     定理\(1\)：                                  ；

     定理\(2\)：                                  ；

     定理\(3\)：                                  ．

\((2)\)在一个四边形中，我们把“一组对边平行、一组对边相等、一组对角相等或一条对角线被另一条对角线平分”称为一个条件\(.\)如图，四边形\(ABCD\)中，我们用符号语言表示出所有的\(8\)个条件：

那么满足\(2\)个条件的四边形是不是平行四边形呢？

【深入探究】

小莉所在学习小组进行了研究，她们认为\(2\)个条件可分为以下六种类型：

Ⅰ 关于对边的\(2\)个条件；               Ⅱ 关于对角的\(2\)个条件；

Ⅲ 关于对角线的\(2\)个条件；             Ⅳ 关于边的条件与角的条件各\(1\)个；

Ⅴ 关于边的条件与对角线的条件各\(1\)个； Ⅵ 关于角的条件与对角线的条件各\(1\)个．

\(①\)小明认为“Ⅰ关于对边的\(2\)个条件”可分为“\(①②\)，\(③④\)，\(①③\)，\(①④\)”共\(4\)种不同种类的情形\(.\)请你仿照小明的叙述对Ⅴ类型进一步分类．

\(②\)小刚认为除了\(4\)个判定依据外，还存在一些真命题，他写出了其中的\(1\)个，请证明这个真命题，并仿照他的格式写出其它真命题\((\)无需证明\()\)：

真命题\(1\)：四边形\(ABCD\)中，若\(∠BAD=∠BCD\)，\(∠ABC=∠ADC\)，则四边形\(ABCD\)是平行四边形．

证明：

写出其它的一个真命题有：_______________________\((\)填序号\()\)

\(③\)小亮认为，还存在一些假命题，他写出了其中的\(1\)个，并举反例进行了说明，请你仿照小亮的格式写出其它一个假命题并举反例进行说明．

​

定义运算\(\dfrac{\underline{a}}{\overline{b}}=\dfrac{a+1}{b+1}\)，若\(a\ne -1\)，\(b\ne -1\)，则下列等式中不正确的是         \((\)     \()\)

电脑系统中有个\(＂\)扫雷\(＂\)游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块\((\)最多八个\()\)中雷的个数\((\)实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的 都标出来了，以示与未掀开者的区别\()\)，如图甲中的\(＂\) \(＂\)表示它的周围八个方块中仅有 个埋有雷\(.\)图乙是张三玩游戏中的局部，图中有 个方块己确定是雷\((\)方块上标有旗子\()\)，则图乙第一行从左数起的七个方块中\((\)方块上标有字母\()\)，能够确定一定是雷的有                       \(.(\)请填入方块上的字母\()\)

小明学了“锐角三角函数”的相关知识后，发现：如图\(1\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，如果\(∠C=90^{\circ}\)，\(∠A=30^{\circ}\)，\(BC=a=1\)，\(AC=b=\sqrt{3}\)，\(AB=c=2\)，那么\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=2.\)通过上网查资料，他又知道\(\sin 90^{\circ}=1\)，因此他得到“在含\(30^{\circ}\)的直角三角形中，存在着\(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)的关系”\(.\)这个关系对于一般三角形还适用吗？他做了如下的探究：

\((1)\)如图\(2\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(BC=a\)，\(AC=b\)，\(AB=c.\)请判断此时“\( \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} \)”是否成立？

\((2)\)对于任意锐角三角形，如图\(3\)：\(\triangle ABC\)，他的探究过程如下：过点\(C\)作\(CD⊥AB\)于\(D\)，在\(Rt\triangle ADC\)和\(Rt\triangle BDC\)中，\(∠ADC=∠BDC=90^{\circ}\)，

\(∴\sin A=\)________，\(\sin B=\)________．

\(∴\dfrac{a}{\sin A}={ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\)，\(\dfrac{b}{\sin B}={ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\)．

\(∴\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\)．

同理，过\(A\)作\(AH⊥BC\)于\(H\)，可证：\(\dfrac{b}{\sin B}={ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\!\!\_\!\!{ }\)．

\(∴\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}\)．

请将上面的过程补充完整．

\((3)\)如图\(4\)，在\(\triangle ABC\)中，\(∠B=60^{\circ}\)，\(∠C=45^{\circ}\)，\(AB=2\)，求\(AC\)的长．

若整数\(a\)能被整数\(b\)整除，则一定存在整数\(n\)，使得\( \dfrac{a}{b}=n \)，即\(a=bn\)，例如：若整数\(a\)能被\(11\)整除，则一定存在整数\(n\)，使得\(\dfrac{a}{11}=n\)，即\(a=11n\)，一个能被\(11\)整除的自然数我们称为“光棍数”，他的特征是奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被\(11\)整除，如：\(42559\)奇数位的数字之和为\(4+5+9=18\)，偶数位的数字之和为\(2+5=7\)，\(18-7=11\)是\(11\)的倍数，所以\(42559\)为“光棍数”。

\((1)\)请你证明任意一个四位“光棍数”均满足上述规律；

\((2)\)若七位整数\(175m62n\)能被\(11\)整除，请求出所有符合要求的七位整数。

记\(f(x)\)表示以\(x\)为自变量的函数，如一次函数\(y=3x-1\)，可表示为\(f(x)=3x-1\)。新定义：若存在实数\({{x}_{0}}\)，使\(f({{x}_{0}})={{x}_{0}}\)成立，则称\({{x}_{0}}\)为\(f(x)\)的不动点\(.\)例如：\(f(x)=3x-1\)的不动点为：令\(3{{x}_{0}}-1={{x}_{0}}\)，则\({{x}_{0}}=\dfrac{1}{2}\)是\(f(x)\)的不动点。

\((1)\)若点\(A(2,8)\)是反比例函数\(y=\dfrac{k}{x}(k\)为常数，\(k\ne 0)\)的图像上一点，求这个反比例函数图像上的不动点；

\((2)\)函数\(y=mx+2n+1(m, n\)是常数\()\)的图像上存在“不动点”吗？若存在，请求出“不动点”；若不存在，请说明理由；

\((3)\)当\(0 < a < 2\)时，一次函数\(y=x\)与二次函数\(f(x)=a{{x}^{2}}+(b+1)x+(b-2)\)的交点为\(A\)、\(B\)，即\(A\)、\(B\)两点的横坐标是函数\(f(x)\)的不动点，且直线\(y={{k}_{1}}x+a-1\)是线段\(AB\)的垂直平分线，求实数\(b\)的取值范围．