知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．
如图\(1\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠A=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(D\)，\(E\)分别在边\(AB\)，\(AC\)上，\(AD=AE\)，连接\(DC\)，点\(M\)，\(P\)，\(N\)分别为\(DE\)，\(DC\)，\(BC\)的中点．
\((1)\)观察猜想
         图\(1\)中，线段\(PM\)与\(PN\)的数量关系是 ______ ，位置关系是 ______ ；
\((2)\)探究证明
       把\(\triangle ADE\)绕点\(A\)逆时针方向旋转到图\(2\)的位置，连接\(MN\)，\(BD\)，\(CE\)，判断\(\triangle PMN\)的形状，并说明理由；
\((3)\)拓展延伸
        把\(\triangle ADE\)绕点\(A\)在平面内自由旋转，若\(AD=4\)，\(AB=10\)，请直接写出\(\triangle PMN\)面积的最大值．

难度：难

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3．

在\(Rt\triangle ABC\)中， \(∠ACB=90^{\circ}\)，\(CD\)是\(AB\)边的中线，\(DE⊥BC\)于\(E\)，连结\(CD\)，点\(P\)在射线\(CB\)上\((\)与\(B\)，\(C\)不重合\()\)．

\((1)\)如果\(∠A=30^{\circ}\)

\(①\)如图\(1\)，\(∠DCB= \)_________\({\,\!}^{\circ}\)

\(②\)如图\(2\)，点\(P\)在线段\(CB\)上，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点\(D\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)，得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，补全图\(2\)猜想\(CP\)、\(BF\)之间的数量关系，并证明你的结论；

\(( 2 )\)如图\(3\)，若点\(P\)在线段\(CB\) 的延长线上，且\(∠A=\alpha \) \((0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ})\) ，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点逆时针旋转\(2\alpha \)得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，请直接写出\(DE\)、\(BF\)、\(BP\)三者的数量关系\((\)不需证明\()\)．

难度：难

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4．
如图，正方形\(ABCD\)中，\(AB=3cm\)，以\(B\)为圆心，\(1cm\)长为半径画\(⊙B\)，点\(P\)在\(⊙B\)上移动，连接\(AP\)，并将\(AP\)绕点\(A\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)至\(AP′\)，连接\(BP′.\)在点\(P\)移动的过程中，\(BP′\)长度的最小值为 ______ \(cm\)．

难度：难

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5．
如图，在\(Rt\triangle AOB\)中，\(∠AOB=90^{\circ}\)，\(OA=3\)，\(OB=2\)，将\(Rt\triangle AOB\)绕点\(O\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)后得\(Rt\triangle FOE\)，将线段\(EF\)绕点\(E\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)后得线段\(ED\)，分别以\(O\)，\(E\)为圆心，\(OA\)、\(ED\)长为半径画弧\(AF\)和弧\(DF\)，连接\(AD\)，则图中阴影部分面积是 ______ ．

难度：难

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6．
如图，边长为\(2 \sqrt {2}\)的正方形\(ABCD\)中，\(P\)是对角线\(AC\)上的一个动点\((\)点\(P\)与\(A\)、\(C\)不重合\()\)，连接\(BP\)，将\(BP\)绕点\(B\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)到\(BQ\)；连接\(PQ\)，\(PQ\)与\(BC\)交于点\(E\)，\(QP\)延长线与\(AD(\)或\(AD\)延长线\()\)交于点\(F\)，连接\(CQ.\)求证：
\((\)Ⅰ\()CQ=AP\)；
\((\)Ⅱ\()\triangle APB\)∽\(\triangle CEP\)．

难度：难

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7．

如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，把\(\triangle ABC\)绕\(AB\)边上的点\(D\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\triangle A′B′C′\)，\(A′C′\)交\(AB\)于点\(E\)，若\(AD=BE\)，则\(\triangle A′DE\)的面积是\((\)　　\()\)

A．\(3\)

B．\(5\)

C．\(11\)

D．\(6\)

难度：难

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8．
如图，\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠BAC=90^{\circ}\)，将\(\triangle ABC\)绕点\(C\)逆时针旋转，旋转后的图形是\(\triangle A′B′C\)，点\(A\)的对应点\(A′\)落在中线\(AD\)上，且点\(A′\)是\(\triangle ABC\)的重心，\(A′B′\)与\(BC\)相交于点\(E\)，那么\(BE\)：\(CE=\) ______ ．

难度：难

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9．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(AB=6\)，\(DE/\!/AC\)，将\(\triangle BDE\)绕点\(B\)顺时针旋转得到\(\triangle BD′E′\)，点\(D\)的对应点\(D′\)落在边\(BC\)上\(.\)已知\(BE′=5\)，\(D′C=4\)，则\(BC\)的长为 ______ ．

难度：难

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10．
正方形\(ABCD\)的边长为\(3\)，\(E\)、\(F\)分别是\(AB\)、\(BC\)边上的点，且\(∠EDF=45^{\circ}.\)将\(\triangle DAE\)绕点\(D\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)，得到\(\triangle DCM\)．
\((1)\)求证：\(EF=FM\)；
\((2)\)当\(AE=1\)时，求\(EF\)的长．

难度：难

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