如图，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AC=2BC\)，点\(D\)在边\(AC\)上，连接\(BD\)，过点\(A\)作\(BD\)的垂线交\(BD\)的延长线于点\(E\)．

\((1)\) 若\(M\)、\(N\)分别为线段\(AB\)、\(EC\)的中点，如图\(1\)，求证：\(MN⊥EC\)；

\((2)\) 如图\(2\)，过点\(C\)作\(CF⊥EC\)交\(BD\)于点\(F\)，求证：\(AE=2BF\)；

\((3)\) 如图\(3\)，在\((2)\)的条件下，若在\(BE\)的延长线上取点\(P\)， 使\(∠EAP=∠BAC\)，求证：\(PE=BF\)。

如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=3\)，\(AD=4\)，\(P\)是\(AD\)上一动点，\(PF⊥BD\)于\(F\)，\(PE⊥AC\)于\(E\)，则\(PE+PF\)的值为           

\((1)\)如果分式\( \dfrac{ \sqrt{2x+3}}{x-4} \)有意义，那么\(x\)的取值范围是            ．

\((2)\)在同一时刻，小红测得小亮的影子长为\(0.8m\)，教学楼的影长为\(9m\)，已知小亮的身高为\(1.6m\)，那么教学楼的高度为            ．

\((3)\)二次函数\(y=mx^{2}-2x+1\)，当\(x < \dfrac{1}{3} \)时，\(y\)的值随\(x\)值的增大而减小，则\(m\)的取值范围是           ．

\((4)\)如图，\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AB=5\)，\(AC=3\)，点\(E\)在中线\(AD\)上，以\(E\)为圆心的\(⊙E\)分别与\(AB\)、\(BC\)相切，则\(⊙E\)的半径为__________．

\((5)\)如图，矩形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(AD=9\)，点\(E\)、\(F\)分别是\(BC\)、\(AD\)上的动点，\(∠FEC\)为钝角，沿直线\(EF\)翻折矩形，点\(C\)、\(D\)的对应点分别为\(C′\)、\(D′\)，若\(C′\)、\(D′\)、\(B\)在同一条直线上，且\( \dfrac{B{D}^{{{'}}}}{B{C}^{{{'}}}} = \dfrac{1}{3} \)时，则\(AF\)的长为__________．

如图，在\(\triangle ABC\)中，\(∠C=90^{\circ}\)，\(AC=BC=2\)，点\(D\)，\(E\)分别在边\(BC\)，\(AB\)上，连接\(AD\)，\(ED\)，且\(∠BDE=∠ADC.\)过\(E\)作\(EF⊥AD\)交边\(AC\)于点\(F\)，连接\(DF\)．

\((1)\)求证：\(∠AEF=∠BED\)；

\((2)\)过\(A\)作\(AG/\!/ED\)交\(BC\)的延长线于点\(G\)，设\(CD=x\)，\(CF=y\)，求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；

\((3)\)当\(\triangle DEF\)是以\(DE\)为腰的等腰三角形时，求\(CD\)的长．

如图，在\(Rt\)\(\triangle \)\(ABC\)中，\(∠\)\(C\)\(=90^{\circ}\)，\(AB\)\(=12\)，点\(P\)为斜边\(AB\)上的一个三等分点，过点\(P\)作\(PM\)\(⊥\)\(AC\)于\(M\)，\(PN\)\(⊥\)\(BC\)于\(N\)，若四边形\(MPNC\)为正方形，则在\(Rt\)\(\triangle \)\(ABC\)中挖掉正方形\(MPNC\)后，剩余图形面积为                         

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