阅读材料，并回答问题

如图，有一根木棒\(MN\)放置在数轴上，它的两端\(M\)、\(N\)分别落在点\(A\)、\(B.\)将木棒在数轴上水平移动，当点\(M\)移动到点\(B\)时，点\(N\)所对应的数为\(20\)，当点\(N\)移动到点\(A\)时，点\(M\)所对应的数为\(5\)．

\((\)单位：\(cm)\)

\((1)\)由此可得，木棒长为__________\(cm\)．

\((2)\)借助上述方法解决问题：

一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要\(40\)年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，\(116\)岁了，哈哈\(！\)”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？

请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄，并说明解题思路．

\((3)\)由\((2)\)的解题过程得到启发，请你用解二元一次方程组的方法，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．

有下列说法：\(①\)有理数和数轴上的点一一对应；\(②\)不带根号的数一定是有理数；\(③\)立方根等于平方根的数是\(1\) ；\(④− \sqrt{17} \)是\(17\)的平方根。其中正确的有 (    )

如图，在数轴上，点\(A\)表示\(1\)，现将点\(A\)沿数轴做如下移动，第一次点\(A\)向左移动\(3\)个单位长度到达点\(A_{1}\)，第\(2\)次从点\(A_{1}\)向右移动\(6\)个单位长度到达点\(A_{2}\)，第\(3\)次从点\(A_{2}\)向左移动\(9\)个单位长度到达点\(A_{3}\)，\(…\)，按照这种规律移动下去，第\(n\)次移动到达点\(A_{n}\)。如果点\(A_{n}\)与原点的距离至少是\(60\)个单位长度，那么\(n\)的最小值是_______________。

已知：\(b\)是最小的正整数，且\(a\)、\(b\)满足\((c-6)^{2}+|a+b|=0\)，请回答问题

\((1)\)请直接写出\(a\)、\(b\)、\(c\)的值\(.a=\)__，\(b=\)__，\(c=\)__

\((2)\)点\(P\)为一动点，其对应的数为\(x\)，点\(P\)在\(0\)到\(3\)之间运动时\((\)即\(0\leqslant x\leqslant 3\)时\()\)，请化简式子：\(|x+1|-|x-1|+2|x+6|(\)请写出化简过程\()\)

\((3)a\)、\(b\)、\(c\)所对应的点分别为\(A\)、\(B\)、\(C\)，点\(A\)、\(B\)、\(C\)开始在数轴上运动，若点\(A\)以每秒\(1\)个单位长度的速度向左运动，同时，点\(B\)和点\(C\)分别以每秒\(2\)个单位长度和\(5\)个单位长度的速度向右运动，假设运动\(t\)秒钟，请问：\(BC-AB\)的值是否随着运动时间\(t\)的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

　\((\)说明：\(BC\)表示点\(B\)与点\(C\)之间的距离，\(AB\)表示点\(A\)与点\(B\)之间的距离\()\)

如图所示：数轴上点\(A\)所表示的数为\(a\)，则\(a\)的值是________．

下列说法：\(①\)不存在最大的负整数；\(②\)两个数的和一定大于每个加数；\(③\)若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；\(④\)已知\(ab\neq 0\)，则\( \dfrac{a}{|a|}+ \dfrac{|b|}{b} \)的值不可能为\(0.\)其中正确的个数是\((\)　　\()\)