知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔\((J.Nplcr,1550-1617\)年\()\)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到\(18\)世纪瑞士数学家欧拉\((Evlcr,1707-1783\)年\()\)才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若\(a^{x}=N(a > 0,a\neq 1)\)，那么\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作：\(x=\log _{a}N.\)比如指数式\(2^{4}=16\)可以转化为\(4=\log _{2}16\)，对数式\(2=\log _{5}25\)可以转化为\(5^{2}=25\)．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：\(\log _{a}(M⋅N)=\log _{a}M+\log _{a}N(a > 0,a\neq 1,M > 0,N > 0)\)；理由如下：
设\(\log _{a}M=m\)，\(\log _{a}N=n\)，则\(M=a^{m}\)，\(N=a^{n}\)
\(∴M⋅N=a^{m}⋅a^{n}=a^{m+n}\)，由对数的定义得\(m+n=\log _{a}(M⋅N)\)
又\(∵m+n=\log _{a}M+\log _{a}N\)
\(∴\log _{a}(M⋅N)=\log _{a}M+\log _{a}N\)
解决以下问题：
\((1)\)将指数\(4^{3}=64\)转化为对数式 ______ ；
\((2)\)证明\(\log _{a} \dfrac {M}{N}=\log _{a}M-\log _{a}N(a > 0,a\neq 1,M > 0,N > 0)\)
\((3)\)拓展运用：计算\(\log _{3}2+\log _{3}6-\log _{3}4=\) ______ ．

难度：较易

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2．
已知：\(2^{a}=3\)，\(2^{b}=5\)，\(2^{c}=75\)．
\((1)\)求\(2^{2a}\)的值；
\((2)\)求\(2^{c-b+a}\)的值；
\((3)\)试说明：\(a+2b=c\)．

难度：易

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3．
已知以\(a^{m}=1\)，\(a^{n}=3\)．
\((1)a^{m+n}=\) ______ ；
\((2)\)若\(a^{3m-2n+k}=3\)，求\(a^{k}\)的值．

难度：易

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4．
规定\(a*b=2^{a}×2^{b}\)，求：
\((1)\)求\(2*3\)；
\((2)\)若\(2*(x+1)=16\)，求\(x\)的值．

难度：易

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5．
\((1)\)已知\(2^{x}=3\)，\(2^{y}=5\)，求\(2^{x+y}\)的值；
\((2)x-2y+1=0\)，求：\(2^{x}÷4^{y}×8\)的值．

难度：较易

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6．
若\({{a}^{m}}={{a}^{n}}(a > 0\)且\(a\ne 1\)，\(m\)、\(n\)是正整数\()\)，则\(m=n.\)利用上面结论解决下面的问题：

\((1)\)若\({{3}^{x}}\times {{9}^{x}}\times {{27}^{x}}={{3}^{12}}\)，求\(x\)的值．

\((2)\)若\(x={{5}^{m}}-3\)，\(y=4-{{25}^{m}}\)，用含\(x\)的代数式表示\(y\)．

难度：中等

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7． \((1)\)若\(10^{x}=3\)，\(10^{y}=2\)，求代数式\(10^{3x+4y}\)的值．
\((2)\)已知：\(3m+2n-6=0\)，求\(8^{m}⋅4^{n}\)的值．

难度：较易

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8．定义：两正数\(a\)，\(b\)之间的一种运算，记作\((a,b)\)：若\(a^{c}=b\)，则\((a,b)=c.\)例如：因为\(3\)\({\,\!}^{2}\)\(=9\)，所以\((3,9)=2\)．
\((1)\)根据上述规定，填空：\((5,1)=\) 　　； \((2,\)\(\dfrac{1}{4}\)\()=\) 　　； \((2,4)+(2,8)=(2,\) 　　\().\)
\((2)\)小明在研究这种运算时发现一个现象：\((2\)\({\,\!}^{n}\)，\(3\)\({\,\!}^{n}\)\()=(2\)，\(3)\)．
小明给出了如下的证明：设\((2\)\({\,\!}^{n}\)，\(3\)\({\,\!}^{n}\)\()=x\)，则根据定义，得\((2\)\({\,\!}^{n}\)\()\)\({\,\!}^{x}\)\(=3\)\({\,\!}^{n}\)，即\((2\)\({\,\!}^{x}\)\()\)\({\,\!}^{n}\)\(=3\)\({\,\!}^{n}\)
\({\,\!}\)所以\(2\)\({\,\!}^{x}\)\(=3\)，即\((2,3)=x\)，所以\((2\)\({\,\!}^{n}\)，\(3\)\({\,\!}^{n}\)\()=(2\)，\(3)\)．
请你尝试运用这种方法解决问题：

已知\(a\)、\(m\)、\(n\)均为正数，填空并证明等式：\((a,m)+(a,n)=(a,\)　 \()\)

难度：较难

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9．已知\(2^{a}=m\)，\(2^{b}=n\)，\(3^{a}=p(a\)、\(b\)都是正整数\()\)，用含\(m\)、\(n\)或\(p\)的式子表示下列各式：
\((1)4^{a+b}\)； \((2)6^{a}\)．

难度：较难

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10．
已知\(2x+4y-5=0\)，求\(9^{x}×81^{y}\)的值．

难度：较易

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