知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

用配方法证明：

\((1)-x^{2}+6x-10\)的值恒小于零；

\((2)4x^{2}-12x+10\)的值恒大于零．

难度：中等

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2．
先化简，再求值：\({{\left( x+3 \right)}^{2}}-\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\)，其中\(x=-1\)．

难度：较易

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3．

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式：例如，图\(①\)可以得到\((a+2b)(a+b)=a^{2}+3ab+2b^{2}\)．

请解答下列问题：

\((1)\)写出图\(②\)中所表示的数学等式．

\((2)\)利用\((1)\)中所得到的结论，解决下面的问题：已知\(a+b+c=11\)，\(ab+bc+ac=38\)，求\(a^{2}+b^{2}+c^{2}\)的值．

\((3)\)小明同学用\(3\)张边长为\(a\)的正方形，\(4\)张边长为\(b\)的正方形，\(7\)张边长分别为\(a\)，\(b\)的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形的长为多少\(?\)

\((4)\)小明同学又用\(x\)张边长为\(a\)的正方形，\(y\)张边长为\(b\)的正方形，\(z\)张边长分别为\(a\)，\(b\)的长方形纸片拼出了一个面积为\((25a+7b)(18a+45b)\)的长方形，求\(x+y+z\)的值．

难度：较易

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4．

已知\({x}_{1} \)、\({{x}_{2}}\)是一元二次方程\({{x}^{2}}-4x+1=0\)的两个根，求\(x_{1}^{2}{+}x_{2}^{2}\) 的值．

难度：较易

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5．
观察下列各式：\(1×2×3×4+1=25=5^{2}\)；\(2×3×4×5+1=121=11^{2}\)；\(3×4×5×6+1=361=19^{2}\)；\(…\)根据上述算式所反映出的规律，猜想“任意四个连续正整数的积与\(1\)的和一定是一个完全平方数”，你认为这个猜想正确吗？说说你的理由．

难度：中等

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6．

已知关于一元二次方程\(x^{2}+(2m+1)x+m(m+1)=0\)，试说明不论实数\(m\)取何值，方程总有实数根

难度：易

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7．

利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac=\dfrac{1}{2}[{{(a-b)}^{2}}+{{(b-c)}^{2}}+{{(a-c)}^{2}}]\)，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁之美．

\((1)\)请你说明这个等式的正确性；

\((2)\)若\(a=2011\)，\(b=2012\)，\(c=2013\)，你能很快求出\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac\)的值吗\(?\)

\((3)\)已知\(a=2016x+2015\)，\(b=2016x+2016\)，\(c=2016x+2017\)，求多项式\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac\)的值．

难度：较难

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8．

\((1)\)已知：\(a+b=3\)，\(ab=2.\)求\(a^{2}+b^{2}\)的值．

　\((2)\)已知：\(a-b=1\)，\(a^{2}+b^{2}=4\)，求\(ab\)的值．

难度：较易

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9．
请你先化简，再选取一个你喜欢的数代入并求值：\( \dfrac{{x}^{2}-4x+4}{{x}^{2}-1}÷\left( \dfrac{3}{x+1}-1\right) \)

难度：难

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10．
计算：

\((1)\dfrac{3}{2-3x}-\dfrac{1+3x}{2-3x}\)；

\((2)\dfrac{{{(a+b)}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}-\dfrac{2ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)；

\((3)\dfrac{a+2}{a+1}-\dfrac{a-1}{a+1}+\dfrac{a-2}{a+1}\)．

难度：较难

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