知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
问题提出以\(n\)边形的\(n\)个顶点和它内部的\(m\)个点，共\((m+n)\)个点作为顶点，可把原\(n\)边形分割成多少个互不重叠的小三角形？

问题探究为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：

探究一：以\(\triangle ABC\)的三个顶点和它内部的\(1\)个点\(P\)，共\(4\)个点为顶点，可把\(\triangle ABC\)分割成多少个互不重叠的小三角形？

如图\(①\)，显然，此时可把\(\triangle ABC\)分割成\(3\)个互不重叠的小三角形．

探究二：以\(\triangle ABC\)的三个顶点和它内部的\(2\)个点\(P\)，\(Q\)，共\(5\)个点为顶点，可把\(\triangle ABC\)分割成多少个互不重叠的小三角形？

在探究一的基础上，我们可看作在图\(①\triangle ABC\)的内部，再添加\(1\)个点\(Q\)，那么点\(Q\)的位置会有两种情况：

一种情况，点\(Q\)在图\(①\)分割成的某个小三角形内部，不妨假设点\(Q\)在\(\triangle PAC\)内部，如图\(②\)；

另一种情况，点\(Q\)在图\(①\)分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点\(Q\)在\(PA\)上，如图\(③\)．

显然，不管哪种情况，都可把\(\triangle ABC\)分割成\(5\)个互不重叠的小三角形．

探究三：以\(\triangle ABC\)的三个顶点和它内部的\(3\)个点\(P\)，\(Q\)，\(R\)共\(6\)个点为顶点，可把\(\triangle ABC\)分割成________个互不重叠的小三角形，并在图\(④\)中画出一种分割示意图．

探究四：以\(\triangle ABC\)的三个顶点和它内部的\(m\)个点，共\((m+3)\)个顶点，可把\(\triangle ABC\)分割成________个互不重叠的小三角形．

探究拓展：以四边形的\(4\)个顶点和它内部的\(m\)个点，共\((m+4)\)个顶点，可把四边形分割成________个互不重叠的小三角形．

问题解决以\(n\)边形的\(n\)个顶点和它内部的\(m\)个点，共\((m+n)\)个顶点，可把\(n\)边形分割成________个互不重叠的小三角形．

实际应用以八边形的\(8\)个顶点和它内部的\(2012\)个点，共\(2020\)个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？\((\)要求列式计算\()\)

难度：中等

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2．
观察图形，寻找对顶角\((\)不含平角\()\)．

\((1)\)两条直线相交于一点，如图\(①\)，共有________对对顶角；

\((2)\)三条直线相交于一点，如图\(②\)，共有________对对顶角；

\((3)\)四条直线相交于一点，如图\(③\)，共有________对对顶角；

\((4)\)根据填空结果探究：当\(n\)条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系；

\((5)\)根据探究结果，请你求出\(2017\)条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数．

难度：较难

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3．

\((1)\)已知\((x-y+3)^{2}+ \sqrt{2-y} =0\)，则\(x+y=\)______．

\((2)\)已知\(\triangle ABC\)中，\(AB=5 cm\)，\(BC=12 cm\)，\(AC=13 cm\)，那么\(AC\)边上的中线\(BD\)的长为______\(cm\)．

\((3)\)函数的三种表示方法是_____、______、．

\((4)\)如图所示，小红从家去书店，又去学校取封信后马上回家，其中\(x\)表示时间，\(y\)表示小红离她家的距离，则小红从学校回家的平均速度为．

\((5)\)如图，在矩形\(ABCD\)中，\(AB=8\)，\(BC=10\)，\(E\)是\(AB\)上一点，将矩形\(ABCD\)沿\(CE\)折叠后，点\(B\)落在\(AD\)边的点\(F\)上，则\(DF\)的长为____________．

\((6)\)如图，已知在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AB=4\)，分别以\(AC\)，\(BC\)为直径作半圆，面积分别记为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，则\(S_{1}+S_{2}\)等于____________．

\((7)\)如图，直线\(a\)经过正方形\(ABCD\)的顶点\(A\)，分别过顶点\(B\)，\(D\)作\(DE⊥a\)于点\(E\)，\(BF⊥a\)于点\(F\)，若\(DE=4\)，\(BF=3\)，则\(EF\)的长为_______．

\((8)\)如图，在图\(1\)中，\(A_{1}\)，\(B_{1}\)，\(C_{1}\)分别是\(\triangle ABC\)的边\(BC\)，\(CA\)，\(AB\)的中点，在图\(2\)中，\(A_{2}\)，\(B_{2}\)，\(C_{2}\)分别是\(\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\)的边\(B_{1}C_{1}\)，\(C_{1}A_{1}\)，\(A_{1}B_{1}\)的中点，\(…\)，按此规律，则第\(n\)个图形中平行四边形的个数共有____________个．

难度：较难

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4．
一种长方形餐桌的四周可坐\(6\)人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．

\((1)\)若把\(4\)张、\(8\)张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？

\((2)\)若用餐的人数有\(90\)人，则这样的餐桌需要多少张？

难度：中等

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5．

用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，求第\(n\)个图形中棋子的数量\(.(\)用含\(n\)的式子表示\()\)

难度：中等

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6．如图所示图形曾被哈佛大学选为人学考试的试题，请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在图形空白处填上恰当的图形．

难度：中等

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7．棱长为a的正方体摆放成如图的形状．
（1）试求其表面积；
（2）若如此摆放10层，其表面积是多少？

难度：较难

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8．观察表格中的图，回答下列问题：
（1）表格中有哪些图形？
（2）你可以发现什么样的变化规律？
（3）图中有一处遗漏的图形，请你补充？

难度：较易

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9．如图①②③④都为平面图形．
（1）数一数每个图形各有多少个顶点、多少条边（不重叠）、这些边围成了多少块区域（不重叠），将结果填入下表：

图形顶点数边数区域数

①

②

③

④
（2）观察上表，你能发现平面的顶点数、边数、区域数之间的关系吗？写出你的发现．

难度：中等

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10．现有9棵树，把它们栽成3行，要使每行恰好为4棵，如图所示就是两种不同的栽法．请至少再给出3种不同的栽法．

难度：中等

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图形	顶点数	边数	区域数
①
②
③
④