知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
观察下列等式：
\(① \dfrac {1}{ \sqrt {2}+1}= \dfrac { \sqrt {2}-1}{( \sqrt {2}+1)( \sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1\)；
\(② \dfrac {1}{ \sqrt {3}+ \sqrt {2}}= \dfrac { \sqrt {3}- \sqrt {2}}{( \sqrt {3}+ \sqrt {2})( \sqrt {3}- \sqrt {2})}= \sqrt {3}- \sqrt {2}\)；
\(③ \dfrac {1}{ \sqrt {4}+ \sqrt {3}}= \dfrac { \sqrt {4}- \sqrt {3}}{( \sqrt {4}+ \sqrt {3})( \sqrt {4}- \sqrt {3})}= \sqrt {4}- \sqrt {3}\)；
\(…\)
回答下列问题：
\((1)\)仿照上列等式，写出第\(n\)个等式： ______ ；
\((2)\)利用你观察到的规律，化简：\( \dfrac {1}{2 \sqrt {3}+ \sqrt {11}}\)；
\((3)\)计算：\( \dfrac {1}{1+ \sqrt {2}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {2}+ \sqrt {3}}+ \dfrac {1}{ \sqrt {3}+2}+…+ \dfrac {1}{3+ \sqrt {10}}\)．

难度：中等

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2．
你见过像\( \sqrt {4-2 \sqrt {3}}\)，\( \sqrt { \sqrt {48}- \sqrt {45}}…\)这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式\(.\)有一些复合二次根式可以化简，如：\( \sqrt {4-2 \sqrt {3}}= \sqrt {3-2 \sqrt {3}+1}= \sqrt {( \sqrt {3})^{2}-2 \sqrt {3}+1^{2}}= \sqrt {( \sqrt {3}-1)^{2}}= \sqrt {3}-1\)，
请用上述方法化简：\( \sqrt {5-2 \sqrt {6}}\)

难度：较难

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3．
先化简，再求值：\(( \dfrac {2}{a+1}- \dfrac {1}{a})÷ \dfrac {a^{2}b-b}{a^{2}+2a+1}\)，其中\(a= \sqrt {2}+1\)，\(b= \sqrt {2}-1\)．

难度：易

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4．
先化简，再求值：\( \dfrac {a^{2}-2ab+b^{2}}{2a-2b}÷( \dfrac {1}{b}- \dfrac {1}{a})\)，其中\(a= \sqrt {5}+1\)，\(b= \sqrt {5}-1\)．

难度：易

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5．
已知\(a\)、\(b\)、\(c\)在数轴上如图，化简\( \sqrt {a^{2}}-|a+b|+ \sqrt {(c-a)^{2}}+|b+c|\)．

难度：易

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6．
已知\(a\)，\(b\)，\(c\)在数轴上的位置如图所示\(.\)请化简：\( \sqrt {a^{2}}-|a+b|+ \sqrt {(c-a)^{2}}\)．

难度：较易

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7．
先化简，再求值：\(a(a+2b)-(a+1)^{2}+2a\)，其中\(a= \sqrt {2}+1,b= \sqrt {2}-1\)．

难度：较易

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8．
先化简，再求值：\((2x+y)^{2}+(x-y)(x+y)-5x(x-y)\)，其中\(x= \sqrt {3}+1\)，\(y= \sqrt {3}-1\)．

难度：易

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9．
如图，点\(A\)、\(B\)在数轴上对应的实数分别为\(m\)，\(n\)，化简\(\left|-m\right|+ \sqrt{{\left(m-n\right)}^{2}}- \sqrt{{\left(m+n\right)}^{2}} \)．

难度：较难

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10．
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如\(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\)，\(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)，\(\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}\)一样的式子\(.\)其实我们还可以将其进一步化简：\(\dfrac{5}{\sqrt{3}}=\dfrac{5\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\dfrac{5}{3}\sqrt{3}(\)一\()\)，\(\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2\times 3}{3\times 3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}(\)二\()\)，\(\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{2\times (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\dfrac{2(\sqrt{3}-1)}{{{(\sqrt{3})}^{2}}-{{1}^{2}}}=\sqrt{3}-1(\)三\()\)，\(\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}\)还可以用下面方法化简：\(\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{3-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{{{(\sqrt{3})}^{2}}-{{1}^{2}}}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1(\)四\()\)以上这种化简的方法叫做分母有理化．

\((1)\)请化简\(\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\_\_\_\_\_\_\_\_\)；

\((2)\)若\(a\)是\(\sqrt{2}\)的小数部分，则\(\dfrac{3}{a}=\_\_\_\_\_\_\_\_\)；

\((3)\)矩形的面积为\(3\sqrt{5}+1\)，一边长为\(\sqrt{5}-2\)，则它的周长为________；

\((4)\)化简\(\dfrac{2}{1+\sqrt{5}}+\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+\dfrac{2}{\sqrt{9}+\sqrt{13}}+\cdots +\dfrac{2}{\sqrt{4n-3}+\sqrt{4n+1}}\)．

难度：难

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