知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如
3
5
，
2
3
，
2
3
+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
3
5
=
3×
5
5
×
5
=
3
5
5
；（一）
2
3
=
2×3
3×3
=
6
3
（二）
2
3
+1
=
2×(
3
-1)
(
3
+1)(
3
-1)
=
2(
3
-1)
(
3
)2-12
=
3
-1（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
化简：
1
1+
3
+
1
3
+
5
+
1
5
+
7
+…
1
2n-1
+
2n+1
．

难度：中等

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2．先阅读下列材料：
化简
1
2
+
3
时，甲、乙两同学的解法分别为：
甲：
1
2
+
3
=
3-2
2
+
3
=
(
3
+
2
)(
3
-
2
)
2
+
3
=
3
-
2
；
乙：
1
2
+
3
=
1•(
2
-
3
)
(
2
+
3
)(
2
-
3
)
=
2
-
3
-1
=
3
-
2
；
下面请解答：
（1）两位同学的解法是否正确？
（2）请用上述两种方法化简：
2
5
-
3
；
（3）计算
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+
1
4
+
5
+…+
1
2014
+
2015
．

难度：中等

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3．利用因式分解的方法对下列各式进行分母有理化：
3
5
+5
3
3
5
-5
3
；
7
5
-
7
5
7
-
5
；
3
3
-2
2
3
-
2
．

难度：中等

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4．化简
a-b
a
+
b
，甲的解法是：原式=
(a-b)(
a
-
b
)
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
=
(a-b)(
a
-
b
)
a-b
=
a
-
b
；乙的解法是：原式=
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
a
+
b
=
a
-
b
，那么谁的解法是正确的？为什么？

难度：中等

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5．我们来看一个这样的例子，分母有理化：
1
2
-1
=
2
+1
(
2
-1)•(
2
+1)
=
2
+1
(
2
)2-12
=
2
+1．
比较大小：
6
-
5
和
3
-
2
．

难度：中等

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6．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如
2
3
+1
这样的式子，我们要用到分母有理化的方法将其化简：
2
3
+1
=
2×(
3
-1)
(
3
+1)(
3
-1)
=
2(
3
-1)
(
3
)2-12
=
3
-1
除了分母有理化，还可以用以下方法化简：
2
3
+1
=
3-1
3
+1
=
(
3
)2-12
3
+1
=
(
3
+1)(
3
-1)
3
+1
=
3
-1
（1）请用不同的方法化简
2
5
+
3
．
（2）求
2
3
+1
+
2
5
+
3
+
2
7
+
5
+…+
2
2n+1
+
2n-1
的值（n为正整数）

难度：中等

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7．已知
1
2
+1
=
2
-1，
1
3
+
2
=
3
-
2
，
1
4
+
3
=
4
-
3
，…，从计算结果中找出规律，利用规律计算：（
1
2
+1
+
1
3
+
2
+
1
4
+
3
+…+
1
2016
×
2015
）×（
2016
+1）

难度：中等

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8．由分数的性质有
1
2
-1
=
2
+1
(
2
-1)(
2
+1)
=
2
+1，根据这一性质化简：
1
3
+1
+
1
5
+
3
+
1
7
+
5
+…+
1
2n+1
+
2n-1
．

难度：中等

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9．计算：
1
1+
2
+
1
2
+
3
+
1
3
+
4
+…+
1
2015
+
2016
．

难度：中等

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10．（1）比较
2
3
-1
与
1
2
-1
的大小；
（2）比较
15
-
14
与
14
-
13
的大小．

难度：中等

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