知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

5．
已知\(a=\sqrt{2}+1\)，\(b=\sqrt{2}-1\)，求下列代数式的值：

\((1){{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}\)

\((2) \dfrac{b}{a}+ \dfrac{a}{b} \)

难度：中等

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6．

已知：\(a= \dfrac {1}{ \sqrt {3}+ \sqrt {2}}\)，求\( \sqrt {(a- \dfrac {1}{a})^{2}+4}- \sqrt {(a+ \dfrac {1}{a})^{2}-4}\)的值．

难度：较难

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7．
若\(x\)，\(y\)是实数，且\(y < \sqrt{x-{1}}+\sqrt{{1}-x}+\dfrac{{1}}{{2}}\)，则\(\dfrac{|{1}-y|}{y-{1}}\)的值为________．

难度：中等

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8．

例：当\(a > 0\)时，如\(a=6\)，则\(｜a｜=｜6｜=6\)，故此时\(a\)的绝对值是它本身；当\(a=0\)时，\(｜a｜=0\)，故此时\(a\)的绝对值是零；当\(a < 0\)时，如\(a=-6\)，则\(｜a｜=｜-6｜=6=-(-6)\)，故此时\(a\)的绝对值是它的相反数．所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即\(|a|=\begin{cases} & a(a > 0), \\ & 0(a=0), \\ & -a(a < 0). \end{cases}\)

这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．

问：\((1)\)请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式\(\sqrt{{{a}^{2}}}\)的各种展开的情况；

\((2)\)猜想\(\sqrt{10}\)与\(｜a｜\)的大小关系．

难度：中等

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9．

若\(a=\sqrt{6}+\sqrt{5}\)，\(b=\sqrt{6}-\sqrt{5}\)，求\(a^{2}+b^{2}-20+2ab\)的值．

难度：中等

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10．

计算：

\((1)( \sqrt{24}- \sqrt{2})-( \sqrt{8}+ \sqrt{6}) \)；          \((2) \sqrt{6}× \sqrt{15}× \sqrt{10} \)

\((3)\) \( \sqrt{(2+ \sqrt{3}{)}^{2005}}× \sqrt{(2- \sqrt{3}{)}^{2005}} \)       \((4) \sqrt{1 \dfrac{2}{3}}÷( \sqrt{2 \dfrac{1}{3}}÷ \sqrt{1 \dfrac{2}{5}}) \)

\(⑸ \sqrt{12}÷( \dfrac{1}{ \sqrt{3}}- \dfrac{1}{ \sqrt{12}}) \)            \(⑹ \dfrac{1}{1+ \sqrt{2}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{2}+ \sqrt{3}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{4}}+…+ \dfrac{1}{ \sqrt{99}+ \sqrt{100}} \)

难度：较易

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