知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
先化简，再求值：\((2x+y)^{2}+(x-y)(x+y)-5x(x-y)\)，其中\(x= \sqrt {3}+1\)，\(y= \sqrt {3}-1\)．

难度：易

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2．
计算：

\((1)\sqrt{18}{-}\sqrt{8}{+}(\sqrt{3}{+}1)(\sqrt{3}{-}1)\)．

\((2)\sqrt{12}{×}\dfrac{\sqrt{32}}{3}{÷}\dfrac{\sqrt{3}}{3}{．}\)

难度：较易

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3．
阅读下面的计算过程：

\( \dfrac{1}{1+ \sqrt{2}} = \dfrac{1×\left( \sqrt{2}-1\right)}{\left( \sqrt{2}+1\right)\left( \sqrt{2}-1\right)} = \sqrt{2} -1\)；

\( \dfrac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{2}} = \dfrac{ \sqrt{3}- \sqrt{2}}{\left( \sqrt{3}+ \sqrt{2}\right)\left( \sqrt{3}- \sqrt{2}\right)} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)；

\( \dfrac{1}{ \sqrt{5}+2} = \dfrac{ \sqrt{5}-2}{\left( \sqrt{5}+2\right)\left( \sqrt{5}-2\right)} = \sqrt{5} -2\)

\(…\)

根据以上信息，解答下面的问题：

\((1)\)化简\( \dfrac{1}{ \sqrt{7}+ \sqrt{6}} =\)__________\((\)直接写出结果\()\)；

\((2)\)化简\( \dfrac{1}{ \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}} =\)__________\((n\)为正整数，直接写出结果\()\)；

\((3)\)利用上面所提供的解法计算：\(( \sqrt{2018}+1)( \dfrac{1}{ \sqrt{2}+1}+ \dfrac{1}{ \sqrt{3}+ \sqrt{2}}+⋯+ \dfrac{1}{ \sqrt{2017}+ \sqrt{2016}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{2018}+ \sqrt{2017}}) \)

难度：较易

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4．在数学课堂上，老师出了一道题：化简\( \sqrt {(1- \sqrt {2})^{2}}\)，同学们马上举手发言，小明站起来说：“老师，这道题太简单了，因为平方与开平方互为逆运算，所以\( \sqrt {(1- \sqrt {2})^{2}}=1- \sqrt {2}.\)”而老师却说小明错了，为什么呢？这是因为如果\( \sqrt {a^{2}}=a\)成立，必须具备条件\(a\geqslant 0\)，而\(1- \sqrt {2} < 0.\)正确的思路是先判断正负，然后开方：\( \sqrt {(1- \sqrt {2})^{2}}= \sqrt {2}-1\)，你看明白了吗？请你做一做下面的习题：
\((1)\)化简\( \sqrt {( \sqrt {2}- \sqrt {3})^{2}}=\)______．
\((2) \sqrt {(1- \sqrt {2})^{2}}+ \sqrt {( \sqrt {2}- \sqrt {3})^{2}}+ \sqrt {( \sqrt {3}- \sqrt {4})^{2}}+…+ \sqrt {( \sqrt {2017}- \sqrt {2018})^{2}}\)．
\((3)\)已知\(a\)，\(b\)，\(c\)是三角形的三边，化简\( \sqrt {(a+b-c)^{2}}+ \sqrt {(b-c-a)^{2}}\)．

难度：易

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5．
观察，猜想，证明．
观察下列的等式
\(①2 \sqrt { \dfrac {2}{3}}= \sqrt {2+ \dfrac {2}{3}}\)；\(②3 \sqrt { \dfrac {3}{8}}= \sqrt {3+ \dfrac {3}{8}}\)；\(③4 \sqrt { \dfrac {4}{15}}═ \sqrt {4+ \dfrac {4}{15}}…\)
\((1)\)发现上述\(3\)个等式的规律，猜想第\(5\)个等式并进行验证；
\((2)\)写出含字母\(n(n\)为任意自然数，且\(n\geqslant 2)\)表示的等式，并写出证明过程．

难度：较易

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6．

\((1 )\)计算\( \sqrt{8}· \sqrt{12}÷ \sqrt{24} \)

\((2)\)解关于的方程：\({x}^{2}-2x-3=0 \)

难度：较易

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7．先化简，再求值．
（1）已知(
1
x2-4x+4
-
1
x2-2x
)÷
2
x2-2x
，并从0≤x≤2中选一个你认为合适的整数x代入求值．
（2）已知b=
a-3
+
3-a
+5，求
1
b
-
a
+
1
b
+
a
的值．

难度：中等

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8．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
(a+1)2
+2
(b-1)2
-|a-b|．

难度：中等

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9．计算：2
12
×
3
4
÷10
2
．

难度：中等

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10．（1）解方程：
2(x+1)2
x2
-
x+1
x
-1=0；
（2）化简：（a-1）
-
1
a-1
．

难度：较易

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