知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数平方等于-1．若我们规定一个新数i，使其满足i²=-1（即x²=-1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=（-1）•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，从而对任意正整数n，我们可以得到i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=（i⁴）ⁿ•i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，i⁴ⁿ=1，那么i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰¹⁸+i²⁰¹⁹的值为（　　）

B．-1

C．i

D．1

难度：易

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2．我们知道，一元二次方程x²=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1，如果我们规定一个新数“i”使它满足i²=-1（即x²=-1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数“i”进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有：i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i，i⁴=（i²）²=（-1）²=1，从而对任意正整数n，由于i⁴ⁿ=（i⁴）ⁿ=1ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i⁴ⁿ•i=1•i=i，同理可得i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，那么，i⁹=______；i²⁰¹⁹=______．

难度：易

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3．

关于\(x\)的一元二次方程\(x^{2}+(m-1)x-(2m+3)=0\)．

\((1)\)求证：方程总有两个不相等的实数根；

\((2)\)写出一个\(m\)的值，并求此时方程的根．

难度：中等

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4．

已知关于\(x\)的一元二次方程\({{x}^{2}}+2(m-1)x+{{m}^{2}}-3=0\)有两个不相等的实数根．

\((1)\)求\(m\)的取值范围；

\((2)\)若\(m\)为非负整数，且该方程的根都是无理数，求\(m\)的值．

难度：中等

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5．
在实数范围内定义一种运算“\(*\)”，其规则为\(a*b=a^{2}-2ab+b^{2}\)，根据这个规则求方程\((x-4)*1=0\)的解为 ______ ．

难度：中等

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6．
如图，反比例函数\(y=\dfrac{k}{x}\)与一次函数\(y=ax+b\)的图象交于点\(A(2,2)\)，\(B\left( \dfrac{1}{2},n\right) \)．

\((1)\)求这两个函数的解析式；

\((2)\)将一次函数\(y=ax+b\)的图象沿\(y\)轴向下平移\(m\)个单位长度，使平移后的图象与反比例函数\(y=\dfrac{k}{x}\)的图象有且只有一个公共点，求\(m\)的值．

难度：中等

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