知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．按要求解方程
（1）2(x+1)2-
9
2
=0（直接开平方法）
（2）4x-1=2x²（配方法）
（3）x2-4
3
x+10=0（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
    ①4x（2x+1）=3（2x+1）
    ②（x+1）²=（2x-1）²
    ③x²-2x-3=0
（5）换元法
    ①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0
    ②x2+
1
x2
-2(x+
1
x
)-1=0．

难度：中等

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2．若实数a、b满足（a+b）（2a+2b-1）-1=0，则a+b=（　　）

A．1

B．-

C．1或-

D．2

难度：中等

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3．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x-1）²-10（4x-1）+24=0
解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y，
则原方程可化为：y²-10y+24=0
解得：y₁=6，y₂=4
∴4x-1=6 或4x-1=4
∴x₁=
7
4
，x₂=
5
4

以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知（x²+y²+1）（x²+y²-3）=5，求x²+y²的值．

难度：中等

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4．如果
1
x2
-
1
x
-6=0，则
1
x
的值是．

难度：中等

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5．阅读下面的材料，回答问题：
解方程x⁴-5x²+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-5y+4=0 ①，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=4时，x²=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程：（x²+3x）²+5（x²+3x）-6=0．

难度：中等

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6．阅读下面的材料，解答问题：为解方（x²-1）²-5（x²-1）+6=0．我们可以将（x²-1）看作一个整体，然后x²-1=y，那么原方程可化为y²-5y+6=0，解得y₁=2，y₂=3．
当y=2时，x²-1=2，x²=3，x=±
3
；
当y=3时，x²-1=3，x²=4，x=±2．
当原方程的解为x₁=
3
，x₂=-
3
，x₃=2，x₄=-2．
上述解题方法叫做“换元法”；请利用“换元法”解方程．（x²+x）²-4（x²+x）-12=0．

难度：中等

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7．已知（x²+y²）²+（x²+y²）=12，那么x²+y²的值是（　　）

A．.3或-4

B．.-3或4

C．4

D．3

难度：中等

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8．阅读材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1视为一个整体，然后设x²-1=y，则
（x²-1）²=y²，原方程化为y²-5y+4=0．
解得y₁=1，y₂=4
当y=1时，x²-1=1．∴x²=2．∴x=±
2
；
当y=4时，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±
5
．
∴原方程的解为x₁=
2
，x₂=-
2
，x₃=
5
，x₄=-
5
．
解方程：（x²+1）²-（x²+1）-6=0．

难度：中等

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9．小明在解方程x⁴-13x²+36=0时，注意到x⁴=（x²）²，于是引入辅助未知数t=x²，把原方程化为t²-13t+36=0，解得t=4或t=9，即x²=4或x²=9，进一步解得原方程的解为x₁=2，x₂=-2，x₃=3，x₄=-3．象这种把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫换元法．
请仿照上述方法解方程：x⁴-3x²-4=0．

难度：较难

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10．已知x、y为实数，且方程为（x²+y²）（x²-2+y²）=15，则x²+y²= ．

难度：中等

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