知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知关于x的方程x²-2（k+1）x+k²+2k-1=0…①
（1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根；
（2）如果a是关于y的方程y²-（x₁+x₂-2k）y+（x₁-k）（x₂-k）=0…②的根，其中x₁，x₂是方程①的两个实数根，求代数式（ $%20%5Cfrac%20%7Ba%7D%7Ba%2B1%7D$ -1）÷ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7Ba%5E%7B2%7D%2B2a%2B1%7D$ • $%20%5Cfrac%20%7Ba-1%7D%7Ba%7D$ 的值．

难度：中等

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2．已知关于x的方程x²-（3k+3）x+2k²+4k+2=0
（1）求证：无论k为何值，原方程都有实数根；
（2）若该方程的两实数根x₁、x₂为一菱形的两条对角线之长，且x₁x₂+2x₁+2x₂=36，求k值及该菱形的面积．

难度：中等

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3．
已知关于$x$的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$．
$(1)$试证明：无论$p$取何值此方程总有两个实数根；
$(2)$若原方程的两根$x_{1}$，$x_{2}$，满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=3p^{2}+1$，求$p$的值．

难度：较易

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4．
已知关于$x$的方程$x^{2}-2x+m=0$有两个不相等的实数根$x_{1}$、$x_{2}$
$(1)$求实数$m$的取值范围；
$(2)$若$x_{1}-x_{2}=2$，求实数$m$的值．

难度：较易

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5．
若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2a+1)x+a^{2}=0$有两个不相等的实数根，求$a$的取值范围．

难度：易

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6．已知关于$x$的一元二次方程$m{x}^{2}+(1-5m)x-5=0 (m\neq 0)$．
$(1)$求证：无论$m$为任何非零实数，此方程总有实数根；
$(2)$若抛物线$y=m{x}^{2}+(1-5m)x-5=0 $与$x$轴交于$A({x}_{1},0) $、$B({x}_{2},0) $两点，且$|{x}_{1}-{x}_{2}|=6 $，求$m$的值；
$(3)$若$m > 0$，点$P(a,b)$与$Q(a+n,b)$在$(2)$中的抛物线上$($点$P$、$Q$不重合$)$，求代数式$4{a}^{2}-{n}^{2}+8n $的值．

难度：较难

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7．解方程：
（1）x²-4x+1=0
（2） $%20%5Cfrac%20%7Bx%2B5%7D%7Bx%5E%7B2%7D-x%7D$ - $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7Bx%7D$ = $%20%5Cfrac%20%7B-6%7D%7B1-x%7D$ ．

难度：较易

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8．
已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(m+1)x+ \dfrac {1}{2}(m^{2}+1)=0$有实数根．
$(1)$求$m$的值；
$(2)$先作$y=x^{2}-(m+1)x+ \dfrac {1}{2}(m^{2}+1)$的图象关于$x$轴的对称图形，然后将所作图形向左平移$3$个单位长度，再向上平移$2$个单位长度，写出变化后图象的解析式；
$(3)$在$(2)$的条件下，当直线$y=2x+n(n\geqslant m)$与变化后的图象有公共点时，求$n^{2}-4n$的最大值和最小值．

难度：难

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9．
已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(k-5)x+1-k=0$，其中$k$为常数．
$(1)$求证：无论$k$为何值，方程总有两个不相等实数根；
$(2)$已知函数$y=x^{2}+(k-5)x+1-k$的图象不经过第三象限，求$k$的取值范围；
$(3)$若原方程的一个根大于$3$，另一个根小于$3$，求$k$的最大整数值．

难度：较易

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