知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知，点$M$为二次函数$y=-(x-b)^{2}+4b+1$图象的顶点，直线$y=mx+5$分别交$x$轴正半轴，$y$轴于点$A$，$B$．
$(1)$判断顶点$M$是否在直线$y=4x+1$上，并说明理由．
$(2)$如图$1$，若二次函数图象也经过点$A$，$B$，且$mx+5 > -(x-b)^{2}+4b+1$，根据图象，写出$x$的取值范围．
$(3)$如图$2$，点$A$坐标为$(5,0)$，点$M$在$\triangle AOB$内，若点$C( \dfrac {1}{4},y_{1})$，$D( \dfrac {3}{4},y_{2})$都在二次函数图象上，试比较$y_{1}$与$y_{2}$的大小．

难度：中等

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2．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^{2}+bx-5$交$y$轴于点$A$，交$x$轴于点$B(-5,0)$和点$C(1,0)$，过点$A$作$AD/\!/x$轴交抛物线于点$D$．
$(1)$求此抛物线的表达式；
$(2)$点$E$是抛物线上一点，且点$E$关于$x$轴的对称点在直线$AD$上，求$\triangle EAD$的面积；
$(3)$若点$P$是直线$AB$下方的抛物线上一动点，当点$P$运动到某一位置时，$\triangle ABP$的面积最大，求出此时点$P$的坐标和$\triangle ABP$的最大面积．

难度：中等

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3．
如图，抛物线$y=ax^{2}+bx-3$过$A(1,0)$、$B(-3,0)$，直线$AD$交抛物线于点$D$，点$D$的横坐标为$-2$，点$P(m,n)$是线段$AD$上的动点．
$(1)$求直线$AD$及抛物线的解析式；
$(2)$过点$P$的直线垂直于$x$轴，交抛物线于点$Q$，求线段$PQ$的长度$l$与$m$的关系式，$m$为何值时，$PQ$最长？
$(3)$在平面内是否存在整点$($横、纵坐标都为整数$)R$，使得$P$、$Q$、$D$、$R$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点$R$的坐标；若不存在，说明理由．

难度：中等

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4．
如图$1$，在平面直角坐标系$xOy$中，已知点$A$和点$B$的坐标分别为$A(-2,0)$，$B(0,-6)$，将$Rt\triangle AOB$绕点$O$按顺时针方向分别旋转$90^{\circ}$，$180^{\circ}$得到$Rt\triangle A_{1}OC$，$Rt\triangle EOF.$抛物线$C_{1}$经过点$C$，$A$，$B$；抛物线$C_{2}$经过点$C$，$E$，$F$．

$(1)$点$C$的坐标为 ______ ，点$E$的坐标为 ______ ；抛物线$C_{1}$的解析式为 ______ $.$抛物线$C_{2}$的解析式为 ______ ；
$(2)$如果点$P(x,y)$是直线$BC$上方抛物线$C_{1}$上的一个动点．
$①$若$∠PCA=∠ABO$时，求$P$点的坐标；
$②$如图$2$，过点$P$作$x$轴的垂线交直线$BC$于点$M$，交抛物线$C_{2}$于点$N$，记$h=PM+NM+ \sqrt {2}BM$，求$h$与$x$的函数关系式，当$-5\leqslant x\leqslant -2$时，求$h$的取值范围．

难度：中等

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5．
如图，已知顶点为$C(0,-3)$的抛物线$y=ax^{2}+b(a\neq 0)$与$x$轴交于$A$，$B$两点，直线$y=x+m$过顶点$C$和点$B$．
$(1)$求$m$的值；
$(2)$求函数$y=ax^{2}+b(a\neq 0)$的解析式；
$(3)$抛物线上是否存在点$M$，使得$∠MCB=15^{\circ}$？若存在，求出点$M$的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较易

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6．如图1，已知抛物线y= $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B8%7D$ x²- $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B4%7D$ x-3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）求出点A，B，D的坐标；
（2）如图1，若线段OB在x轴上移动，且点O，B移动后的对应点为O′，B′．首尾顺次连接点O′、B′、D、C构成四边形O′B′DC，当四边形O′B′DC的周长有最小值时，在第四象限找一点P，使得△PB′D的面积最大？并求出此时P点的坐标．
（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接CM、MN．当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点N的坐标．

难度：较易

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7．已知：如图1，直线y=-x-1分别交x轴、y轴于A、E两点，抛物线y=- $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B9%7D$ x²+bx+c经过点A，且过点B（5，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图2，若在直线BC上方的抛物线上有一点F，当△BCF的面积最大时，有一线段MN= $%20%5Csqrt%20%7B2%7D$ （点M在点N的左侧）在直线AE上移动，首尾顺次连接点F、M、N、B构成四边形FMNB，请求出四边形FMNB的周长最小时点M的横坐标；
（3）如图3，连接AD、BD，把∠DAB沿x轴平移到∠D′A′B′，在平移过程中把∠D′A′B′绕A′旋转，使∠D′A′B′的一边始终经过点D，另一边交直线BD于点R，是否存在这样的点R，使△DRA′为等腰三角形，若存在，求出BR的长；若不存在，说明理由．

难度：较易

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8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x²- $%20%5Cfrac%20%7B8%7D%7B3%7D$ x- $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ 与x轴交于A、B、两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）判断△ABC形状，并说明理由．
（2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM+ $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B10%7D%7D%7B10%7D$ MC的最小值；
（3）如图2，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为 $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF= $%20%5Cfrac%20%7B5%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ ，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在请直接写出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．

难度：较易

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9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=- $%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B3%7D%7D%7B3%7D$ x²+bx+c与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D，B（-3，0），A（0， $%20%5Csqrt%20%7B3%7D$ ）
（（1）求抛物线解析式及D点坐标；
（2）如图1，P为线段OB上（不与O、B重舍）一动点，过点P作y轴的平行线交线段AB于点M，交抛物线于点N，点N作NK⊥BA交BA于点K，当△MNK与△MPB的面积相等时，在X轴上找一动点Q，使得 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ CQ+QN最小时，求点Q的坐标及 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ CQ+QN最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△ODN沿射线DN平移，平移后的对应三角形为△O′D′N′，将△AOC绕点O逆时针旋转到A₁OC₁的位置，且点C₁恰好落在AC上，△A₁D′N′是否能为等腰三角形，若能求出N′的坐标，若不能，请说明理由．

难度：较易

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10．某商场购进一批新型的电脑用于出售给与之合作的企业，每台电脑的成本为3600元，销售单价定为4500元，在该种电脑的试销期间，为了促销，鼓励企业积极购买该新型电脑，商场经理决定一次购买这种电脑不超过10台时，每台按4500元销售；若一次购买该种电脑超过10台时，每多购买一台，所购买的电脑的销售单价均降低50元，但销售单价均不低于3900元．
（1）企业一次购买这种电脑多少台时，销售单价恰好为3900元？
（2）设某企业一次购买这种电脑x台，商场所获得的利润为y元，求y（元）与x（台）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．若A企业欲购进一批该新型电脑（不超过25台），则A企业一次性购进多少台电脑时，商场获得的利润最大？
（3）该商场的销售人员发现：当企业一次购买电脑的台数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，商场所获得的利润反而减少这一情况，为使企业一次购买的数量越多，商场所获得的利润越大，商场应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

难度：中等

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