10．
我们定义：如图\(1\)，在\(\Delta ABC\)看，把\(AB\)点\(A\)顺时针旋转\(\alpha \left( {{0}^{0}} < \alpha < {{180}^{0}} \right)\)得到\(A{B}{{{'}}}\)，把\(AC\)绕点\(A\)逆时针旋转\(\beta \)得到\(A{C}{{{'}}}\)，连接\({B}{{{'}}}{C}{{{'}}}.\)当\(\alpha +\beta ={{180}^{0}}\)时，我们称\(\Delta {A}{{{'}}}{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)是\(\Delta ABC\)的“旋补三角形”，\(\Delta A{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)边\({B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)上的中线\(AD\)叫做\(\Delta ABC\)的“旋补中线”，点\(A\)叫做“旋补中心”．
特例感知：
\((1)\)在图\(2\)，图\(3\)中，\(\Delta A{B}{{{'}}}{C}{{{'}}}\)是\(\Delta ABC\)的“旋补三角形”，\(AD\)是\(\Delta ABC\)的“旋补中心”．
\(①\)如图\(2\)，当\(\Delta ABC\)为等边三角形时，\(AD\)与\(BC\)的数量关系为\(AD=\)_____________\(BC\)；
\(②\)如图\(3\)，当\(\angle BAC={{90}^{0}},BC=8\)时，则\(AD\)长为_________________．
猜想论证：
\((2)\)在图\(1\)中，当\(\Delta ABC\)为任意三角形时，猜想\(AD\)与\(BC\)的数量关系，并给予证明．
拓展应用
\((3)\)如图\(4\)，在四边形\(ABCD\)，\(\angle C={{90}^{0}},\angle D={{150}^{0}},BC=12\)，\(CD=2\sqrt{3},DA=6.\)在四边形内部是否存在点\(P\)，使\(\Delta PDC\)是\(\Delta PAB\)的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求\(\Delta PAB\)的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．