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在数学课上，老师提出如下问题：如图，在一个圆锥形状的包装盒的底部\(A\)处有一只壁虎，在侧面\(B\)处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？
请你设计一种最短的爬行路线\(.\)
下面是班内三位同学提交的设计方案：
根据以上信息，你认为_________同学的方案最正确，理由是__________________．
抛物线\(y=a{{x}^{2}}+bx-\sqrt{3}\)分别交\(x\)轴于点\(A(-1,0)\)，\(C(3,0)\)，交\(y\)轴于点\(B\)，抛物线的对称轴与\(x\)轴相交于点\(D.\) 点\(P\)为线段\(OB\)上的点，点\(E\)为线段\(AB\)上的点，且\(PE⊥AB\)．
\((1)\)求抛物线的表达式；
\((2)\)计算\( \dfrac{PE}{PB}\)的值；
\((3)\)请直接写出\( \dfrac{1}{2}PB+PD\)的最小值为_______________．
在平面直角坐标系\(xOy\)中，抛物线\(y=\dfrac{1}{9}{{x}^{2}}+bx\)经过点\(A(-3,4)\)．
\((1)\)求\(b\)的值；
\((2)\)过点\(A\)作\(x\)轴的平行线交抛物线于另一点\(B\)，在直线\(AB\)上任取一点\(P\)，作点\(A\)关于直线\(OP\)的对称点\(C\)；
\(②\)连结\(BC\)，求\(BC\)的最小值．
\((2)\)请在直线\(l\)上确定一点\(O\)，使点\(O\)到点\(A\)与点\(O\)到点\(B\)的距离之和最短，并写出画图的依据．
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