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          共50条信息

            • 1． （2015秋•东台市月考）阅读下面的材料：
                  1750年，欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V、E、F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V-E+F=2．这个发现，就是著名的欧拉定理．
              根据所阅读的材料，完成：
                  据百度百科介绍：C60是一种由60个碳原子构成的分子，这种分子的微观结构是个多面体，形似足球，故名足球烯．C60具有金属光泽，有许多优异性能，如超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀等，在光、电、磁等领域有潜在的应用前景．已知足球烯的分子具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．那么，这种多面体的棱数是    ．
              难度：较难
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            • 2． 图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V），网眼数（F），边数（E）之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：
              特殊网图
              结点数（V）46912
              网眼数（F）1246
              边数（E）4712☆
              表中“☆”处应填的数字为    ；根据上述探索过程，可以猜想V，F，E之间满足的等量关系为    ；
              如图2，若网眼形状为六边形，则V，F，E之间满足的等量关系为    ．
              难度：较难
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            • 3． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面树（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

              （1）根据上面多面体模型，填写表格中的空格：
              多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）
              四面体446
              长方体86    
              正八面体    812
              正十二面体201230
              （2）根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是    （用所给的字母表达）；
              （2）若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是    ；
              （3）有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为x，求x的值．
              难度：中等
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            • 4． 【经典公式】
              还记得欧拉公式吗？它讲述的是多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在存在的等量关系．（1）请你通过对如图1所示的多面体的归纳，补全欧拉公式：V+F-E=    ．
              【实际应用】
              （2）足球一般有32块黑白皮子缝合而成（如图2），且黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如果我们可近似把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程．
              难度：中等
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            • 5． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中面数（F）、顶点数（V）、棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，被称为“欧拉公式”，请你观察如图所示几种简单多面体模型，解答下列问题：

              （1）根据如图所示多面体模型，完成表格中的空格：
              多面体各面形状面数（F）顶点数（V）棱数（E）
              四面体三角形446
              长方体长方形68x
              正八面体正三角形8y12
              正十二面体正五面型122030
              你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是    （用含V、F、E的式子表示）；
              （2）已知某个玻璃鉓品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形拼接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为m个，六边形的个数为n个，求m+n的值；
              （3）在（2）的情况下，又已知m+2q=18，求代数式（3n-6q）2-
              2
              10q-5n
              的值．
              难度：中等
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            • 6． 三棱柱有9条棱、6个顶点、5个面，三棱锥有6条棱、4个顶点、4个面；四棱柱有12条棱、8个顶点、6个面，四棱锥有8条棱、5个顶点、5个面等等，问能否组成一个有24条棱，10个面，15个顶点的多面体？请简要说明．
              难度：中等
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            • 7． 分别数一数四棱锥、五棱锥、六棱锥和八棱锥的顶点数、面数和棱数，填写下表，你发现了什么规律？
              顶点数面数棱数顶点数+面数-棱数
              四棱锥                
              五棱锥                
              六棱锥                
              八棱锥                
              你发现的规律是    ．
              难度：中等
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            • 8． 观察下列多面体，并把下表补充完整：
              　名称　三棱柱　四棱柱　五棱柱　六棱柱
              　图形
              　顶点数a　6    　10　12
              　棱数b　9　12        
              　面积c　5        　8
              （1）根据上表中的规律判断，十四棱柱共有    个面，共有    个顶点，共有    条棱；
              （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为    棱柱；
              （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有    个侧面，共有    个面，共有    个顶点，共有    条棱；
              （4）观察表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式．
              难度：中等
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            • 9． 如图，观察图（1）中三棱柱有5个面，6个顶点，9条棱；四棱柱有6个面，8个顶点，12条棱；五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱…由此推得
              （1）十棱柱有    个面，    个顶点，    条棱．
              （2）n棱柱的面为x，顶点为y，棱为z，则x，y，z的关系是怎样的？
              难度：中等
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            • 10． 一个多面体，若顶点数为5，面数为5，则棱数有多少？
              难度：中等
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