知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
已知，等边三角形\(ABC\)的边长为\(5\)，点\(P\)在线段\(AB\)上，点\(D\)在线段\(BC\)上，且\(\triangle PDE\)是等边三角形．
\((1)\)初步尝试：若点\(P\)与点\(A\)重合时\((\)如图\(1)\)，\(BD+BE=\)______．
\((2)\)类比探究：将点\(P\)沿\(AB\)方向移动，使\(AP=1\)，其余条件不变\((\)如图\(2)\)，试计算\(BD+BE\)的值是多少？
\((3)\)拓展迁移：如图\(3\)，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(∠BAC=70^{\circ}\)，点\(P\)在线段\(AB\)的延长线上，点\(D\)在线段\(CB\)的延长线上，在\(\triangle PDE\)中，\(PD=PE\)，\(∠DPE=70^{\circ}\)，设\(BP=a\)，请直接写出线段\(BD\)、\(BE\)之间的数量关系\((\)用含\(a\)的式子表示\()\)

难度：难

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2．
如图，\(\triangle ABC\)中，\(AB=6cm\)，\(AC=4 \sqrt {2}cm\)，\(BC=2 \sqrt {5}cm\)，点\(P\)以\(1cm/s\)的速度从点\(B\)出发沿边\(BA→AC\)运动到点\(C\)停止，运动时间为\(t s\)，点\(Q\)是线段\(BP\)的中点．
\((1)\)若\(CP⊥AB\)时，求\(t\)的值；
\((2)\)若\(\triangle BCQ\)是直角三角形时，求\(t\)的值；
\((3)\)设\(\triangle CPQ\)的面积为\(S\)，求\(S\)与\(t\)的关系式，并写出\(t\)的取值范围．

难度：中等

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3．
问题呈现
如图\(1\)，在边长为\(1\)的正方形网格中，连接格点\(D\)，\(N\)和\(E\)，\(C\)，\(DN\)和\(EC\)相交于点\(P\)，求\(\tan ∠CPN\)的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出\((\)或构造出\()\)一个直角三角形\(.\)观察发现问题中\(∠CPN\)不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点\(M\)，\(N\)，可得\(MN/\!/EC\)，则\(∠DNM=∠CPN\)，连接\(DM\)，那么\(∠CPN\)就变换到\(Rt\triangle DMN\)中．
问题解决
\((1)\)直接写出图\(1\)中\(\tan ∠CPN\)的值为 ______ ；
\((2)\)如图\(2\)，在边长为\(1\)的正方形网格中，\(AN\)与\(CM\)相交于点\(P\)，求\(\cos ∠CPN\)的值；
思维拓展
\((3)\)如图\(3\)，\(AB⊥BC\)，\(AB=4BC\)，点\(M\)在\(AB\)上，且\(AM=BC\)，延长\(CB\)到\(N\)，使\(BN=2BC\)，连接\(AN\)交\(CM\)的延长线于点\(P\)，用上述方法构造网格求\(∠CPN\)的度数．

难度：中等

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4．
已知：\(\triangle ABC\)是等腰直角三角形，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AB=4 \sqrt {2}\)，将\(AC\)边所在直线向右平移，所得直线\(MN\)与\(BC\)边的延长线相交于点\(M\)，点\(D\)在\(AC\)边上，\(CD=CM\)，过点\(D\)的直线平分\(∠BDC\)，与\(BC\)交于点\(E\)，与直线\(MN\)交于点\(N\)，联接\(AM\)．

\((1)\)若\(CM= \sqrt {3}\)，则\(AM=\) ______ ；
\((2)\)如图\(1\)，若点\(E\)是\(BM\)的中点，求证：\(MN=AM\)；
\((3)\)如图\(2\)，若点\(N\)落在\(BA\)的延长线上，求\(AM\)的长．

难度：中等

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5．
如图\(①\)，在等边三角形\(ABC\)中，\(D\)是\(AB\)边上的动点，以\(CD\)为一边，向上作等边三角形\(EDC\)，连接\(AE\)．
\((1)\)求证：\(\triangle DBC\)≌\(\triangle EAC\)．
\((2)\)试说明\(AE/\!/BC\)的理由．
\((3)\)如图\(②\)，当图\(①\)中的点\(D\)运动到边\(BA\)的延长线上时，所作仍为等边三角形\(.\)猜想是否仍有\(AE/\!/BC\)？若成立请证明．

难度：中等

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6．
用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段\(a\)，\(b\)，求作：线段\(AB\)，使\(AB=2b-a\)．

难度：易

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7．
如图\((1)AB=9cm\)，\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)，\(AC=BD=7cm\)，点\(P\)在线段\(AB\)上以\(2cm/s\)的速度由点\(A\)向点\(B\)运动，同时，点\(Q\)在线段\(BD\)上由点\(B\)向点\(D\)运动，它们运动的时间为\(t(s)\)．

\((1)\)若点\(Q\)的运动速度与点\(P\)的运动速度相等，当\(t=1\)时，\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)是否全等，请说明理由；
\((2)\)在\((1)\)的前提条件下，判断此时线段\(PC\)和线段\(PQ\)的位置关系，并证明；
\((3)\)如图\((2)\)，将图\((1)\)中的“\(AC⊥AB\)，\(BD⊥AB\)”为改“\(∠CAB=∠DBA=50^{\circ}\)”，其他条件不变\(.\)设点\(Q\)的运动速度为\(xcm/s\)，是否存在实数\(x\)，使得\(\triangle ACP\)与\(\triangle BPQ\)全等？若存在，求出相应的\(x\)、\(t\)的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．
阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用\(.\)具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
\((1)\)如图\(①\)，在\(\triangle ABC\)中，若\(AB=12\)，\(AC=8\)，求\(BC\)边上的中线\(AD\)的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长\(AD\)到点\(E\)使\(DE=AD\)，再连接\(BE\)，把\(AB\)、\(AC\)、\(2AD\)集中在\(\triangle ABE\)中\(.\)利用三角形三边的关系即可判断中线\(AD\)的取值范围是 ______ ；
\((2)\)问题解决：
如图\(②\)，在\(\triangle ABC\)中，\(D\)是\(BC\)边上的中点，\(DE⊥DF\)于点\(D\)，\(DE\)交\(AB\)于点\(E\)，\(DF\)交\(AC\)于点\(F\)，连接\(EF\)，求证：\(BE+CF > EF\)；
\((3)\)问题拓展：
如图\(③\)，在四边形\(ABCD\)中，\(∠B+∠D=180^{\circ}\)，\(CB=CD\)，\(∠BCD=140^{\circ}\)，以\(C\)为顶点作一个\(70^{\circ}\)角，角的两边分别交\(AB\)，\(AD\)于\(E\)，\(F\)两点，连接\(EF\)，探索线段\(BE\)，\(DF\)，\(EF\)之间的数量关系，并加以证明．

难度：中等

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9．
如图\(①\)，在平面直角坐标系中，\(A(a,0)\)，\(C(b,2)\)，且满足\((a+2)^{2}+ \sqrt {b-2}=0\)，过\(C\)作\(CB⊥x\)轴于\(B\)．
\((1)\)求三角形\(ABC\)的面积；
\((2)\)如图\(②\)，若过\(B\)作\(BD/\!/AC\)交\(y\)轴于\(D\)，且\(AE\)，\(DE\)分别平分\(∠CAB\)，\(∠ODB\)，求\(∠AED\)的度数；
\((3)\)在\(y\)轴上是否存在点\(P\)，使得三角形\(ACP\)和三角形\(ABC\)的面积相等？若存在，求出\(P\)点的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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10．
问题背景：如图\(1\)，等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(∠BAC=120^{\circ}\)，作\(AD⊥BC\)于点\(D\)，则\(D\)为\(BC\)的中点，\(∠BAD= \dfrac {1}{2}∠BAC=60^{\circ}\)，于是\( \dfrac {BC}{AB}= \dfrac {2BD}{AB}= \sqrt {3}\)；
迁移应用：如图\(2\)，\(\triangle ABC\)和\(\triangle ADE\)都是等腰三角形，\(∠BAC=∠DAE=120^{\circ}\)，\(D\)，\(E\)，\(C\)三点在同一条直线上，连接\(BD\)．
\(①\)求证：\(\triangle ADB\)≌\(\triangle AEC\)；
\(②\)请直接写出线段\(AD\)，\(BD\)，\(CD\)之间的等量关系式；
拓展延伸：如图\(3\)，在菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=120^{\circ}\)，在\(∠ABC\)内作射线\(BM\)，作点\(C\)关于\(BM\)的对称点\(E\)，连接\(AE\)并延长交\(BM\)于点\(F\)，连接\(CE\)，\(CF\)．
\(①\)证明\(\triangle CEF\)是等边三角形；
\(②\)若\(AE=5\)，\(CE=2\)，求\(BF\)的长．

难度：较易

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