知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．

在\(Rt\triangle ABC\)中， \(∠ACB=90^{\circ}\)，\(CD\)是\(AB\)边的中线，\(DE⊥BC\)于\(E\)，连结\(CD\)，点\(P\)在射线\(CB\)上\((\)与\(B\)，\(C\)不重合\()\)．

\((1)\)如果\(∠A=30^{\circ}\)

\(①\)如图\(1\)，\(∠DCB= \)_________\({\,\!}^{\circ}\)

\(②\)如图\(2\)，点\(P\)在线段\(CB\)上，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点\(D\)逆时针旋转\(60^{\circ}\)，得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，补全图\(2\)猜想\(CP\)、\(BF\)之间的数量关系，并证明你的结论；

\(( 2 )\)如图\(3\)，若点\(P\)在线段\(CB\) 的延长线上，且\(∠A=\alpha \) \((0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ})\) ，连结\(DP\)，将线段\(DP\)绕点逆时针旋转\(2\alpha \)得到线段\(DF\)，连结\(BF\)，请直接写出\(DE\)、\(BF\)、\(BP\)三者的数量关系\((\)不需证明\()\)．

难度：难

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2．
已知正方形\(ABCD\)的边长为\(4\)，一个以点\(A\)为顶点的\(45^{\circ}\)角绕点\(A\)旋转，角的两边分别与边\(BC\)，\(DC\)的延长线交于点\(E\)，\(F\)，连接\(EF.\)设\(CE=a\)，\(CF=b\)．

\((1)\)如图\((1)\)，当\(a={4}\sqrt{{2}}\)时，求\(b\)的值；

\((2)\)当\(a=4\)时，在图\((2)\)中画出相应的图形并求出\(b\)的值；

\((3)\)如图\((3)\)，请直接写出\(∠EAF\)绕点\(A\)旋转的过程中\(a\)，\(b\)满足的关系式．

难度：较难

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3． \((1)\)问题发现
在等腰三角形\(ABC\)中，\(AB=AC\)，分别以\(AB\)和\(AC\)为斜边，向\(\triangle ABC\)的外侧作等腰直角三角形，如图\(1\)所示，其中\(DF⊥AB\)于点\(F\)，\(EG⊥AC\)于点\(G\)，\(M\)是\(BC\)的中点，连接\(MD\)和\(ME\)．
填空：线段\(AF\)，\(AG\)，\(AB\)之间的数量关系是______；
线段\(MD\)，\(ME\)之间的数量关系是______．
\((2)\)拓展探究
在任意三角形\(ABC\)中，分别以\(AB\)和\(AC\)为斜边向\(\triangle ABC\)的外侧作等腰直角三角形，如图\(2\)所示，\(M\)是\(BC\)的中点，连接\(MD\)和\(ME\)，则\(MD\)与\(ME\)具有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由；
\((3)\)解决问题
在任意三角形\(ABC\)中，分别以\(AB\)和\(AC\)为斜边，向\(\triangle ABC\)的内侧作等腰直角三角形，如图\(3\)所示，\(M\)是\(BC\)的中点，连接\(MD\)和\(ME\)，若\(MD=2\)，请直接写出线段\(DE\)的长．

难度：难

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4．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=CB\)，\(∠ABC=90^{\circ}\)，\(D\)为\(AB\)延长线上一点，点\(E\)在\(BC\)边上，且\(BE=BD\)，连结\(AE\)、\(DE\)、\(DC\)．
\(①\)求证：\(\triangle ABE\)≌\(\triangle CBD\)；
\(②\)若\(∠CAE=30^{\circ}\)，求\(∠BDC\)的度数．

难度：易

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5．
在\(\triangle ABC\)中，\(∠ACB=90^{\circ}\)，\(AC < BC\)，点\(D\)在\(AC\)的延长线上，点\(E\)在\(BC\)边上，且\(BE=AD\)，

\((1)\)如图\(1\)，连接\(AE\)，\(DE\)，当\(∠AEB=110^{\circ}\)时，求\(∠DAE\)的度数；
\((2)\)在图\(2\)中，点\(D\)是\(AC\)延长线上的一个动点，点\(E\)在\(BC\)边上\((\)不与点\(C\)重合\()\)，且\(BE=AD\)，连接\(AE\)，\(DE\)，将线段\(AE\)绕点\(E\)顺时针旋转\(90^{\circ}\)得到线段\(EF\)，连接\(BF\)，\(DE\)．
\(①\)依题意补全图形；
\(②\)求证：\(BF=DE\)．

难度：较易

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6．
从\(⊙O\)外一点\(A\)引\(⊙O\)的切线\(AB\)，切点为\(B\)，连接\(AO\)并延长交\(⊙O\)于点\(C\)，点\(D.\)连接\(BC\)．
\((1)\)如图\(1\)，若\(∠A=26^{\circ}\)，求\(∠C\)的度数；
\((2)\)如图\(2\)，若\(AE\)平分\(∠BAC\)，交\(BC\)于点\(E.\)求\(∠AEB\)的度数．

难度：较易

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