知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在\(\triangle ABC\)中，\(ED\)是边\(BC\)的垂直平分线\(.\)交\(AB\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(D.\)若\(∠A=73^{\circ}\)，\(∠ACE=25^{\circ}\)，求\(∠B\)的度数．

难度：易

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2．
\((1)\)如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(AB\)的垂直平分线交\(AB\)于点\(N\)，交直线\(BC\)于点\(M\)，\(∠A=40^{\circ}\)，求\(∠NMB\)的大小；

\((2)\)如果将\((1)\)中的\(∠A\)的度数改为\(70^{\circ}\)，其余条件不变，再求\(∠NMB\)的大小；

\((3)\)你发现了什么样的规律？试证明；

\((4)\)将\((1)\)中的\(∠A\)改为钝角，对这个问题的规律性认识是否需要修改．

难度：中等

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3．证明定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．
已知：如图，在\(\triangle ABC\)中，分别作\(AB\)边、\(BC\)边的垂直平分线，两线相交于点\(P\)，分别交\(AB\)边、\(BC\)边于点\(E\)、\(F\)．
求证：\(AB\)、\(BC\)、\(AC\)的垂直平分线相交于点\(P\)
证明：\(∵\)点\(P\)是\(AB\)边垂直平线上的一点，
\(∴\) ______ \(=\) ______ ．
同理可得，\(PB=\) ______ ．
\(∴\) ______ \(=\) ______ \((\)等量代换\()\)．
\(∴\) ______ \(.(\)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上\()\)
\(∴AB\)、\(BC\)、\(AC\)的垂直平分线交于点\(P\)．

难度：易

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4．如图，已知\(CD\)垂直平分\(AB\)，\(AC=6cm\)，\(BD=4cm\)，则四边形\(ADBC\)的周长是 ______ ．

难度：中等

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5．

下列说法错误的是\(({ })\)

A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合

B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等

C．等腰三角形的两个底角相等

D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍

难度：中等

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6．

如图\(.\)在\(Rt\triangle ABC\)中，\(∠A=30^{\circ}\)，\(DE\)垂直平分斜边\(AC\)，交\(AB\)于\(D\)，\(E\)是垂足，连接\(CD\)，若\(BD=1\)，则\(AC\)的长是\((\)　　\()\)

A．\(2 \sqrt {3}\)

B．\(2\)

C．\(4 \sqrt {3}\)

D．\(4\)

难度：较难

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7．
如图，在锐角\(\triangle ABC\)中，直线\(PL\)为\(BC\)的垂直平分线，射线\(BM\)为\(∠ABC\)的平分线，\(PL\)与\(BM\)相交于\(P\)点\(.\)若\(∠PBC=30^{\circ}\)，\(∠ACP=20^{\circ}\)，则\(∠A\)的度数为．

难度：中等

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8．如图\(1\)，已知\(\triangle ABC\)中，\(BC=3\)，\(AC=4\)，\(AB=5\)，直线\(MD\)是\(AB\)的垂直平分线，分别交\(AB\)、\(AC\)于\(M\)、\(D\)点．
\((1)\)求线段\(DC\)的长度；
\((2)\)如图\(2\)，连接\(CM\)，作\(∠ACB\)的平分线交\(DM\)于\(N.\)求证：\(CM=MN\)．

难度：易

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9．

【回归课本】我们曾学习过这样的基本事实：\(①\)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；\(②\)同弧所对的圆周角相等．

【初步体验】如图，已知\(\triangle \)\(ABC\)，用没有刻度的直尺和圆规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注．

\((1)\)在图\(①\)中 \(AC\)边上找点 \(D\)，使 \(DB\)\(+\) \(DC\)\(=\) \(AC\)；

\((2)\)在图\(②\)中作\(\triangle \)\(BCE\)，使\(∠\)\(BCE\)\(=∠\)\(BAC\)，\(CE\)\(=\)\(BE\)．
【深入探究】小明运用上述基本事实解决了下面一个问题：
\((3)\)如图\(③\)，已知线段 \(a\)和等边\(\triangle \) \(ABC\)，作\(\triangle \) \(BCM\)，使\(∠\) \(BMC\)\(=∠\) \(BAC\)， \(BM\)\(+\) \(CM\)\(=\) \(a\)．

他的做法是；\(1\)画\(\triangle \)\(ABC\)的外接圆；\(2\)以\(A\)为圆心、\(AB\)长为半径画\(⊙\)\(A\)；\(3\)以\(C\)为圆心、\(a\)为半径画弧与\(⊙\)\(A\)交于点\(F\)；\(4\)连接\(CF\)与\(\triangle \)\(ABC\)的外接圆交于点\(M\)，则\(\triangle \)\(BCM\)是要画的三角形\(.\)请你给出证明，并直接写出这样的点\(M\)有个\(.\)

难度：难

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