知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，△OBC为等边三角形，AD∥BC，AD=3，BC=7，P为BC边上一点（不与B，C重合），过点P作∠APE=∠B，PE交CD于E．
（1）求证：△APB∽△PEC；
（2）求AB的长；
（3）若CE=3，求BP的长．

难度：中等

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2．如图：△ABC为等边三角形，点D、P为动点，这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度点D由C向A运动，点P由B向C运动，连接AP、BD交于点Q．

（1）若动点D在边CA上，动点P在边BC上，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论．
（2）若动点D、P分别在射线CA和射线BC上运动，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变，请你利用图（2）的情形，求证：∠BQP=60°．
（3）若将原题中的“点P由B向C运动，连接AP、BD交于点Q”改为“点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其它条件不变，如图（3），则动点D、P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．

难度：中等

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3．（1）二次函数的图象经过点（4，-3），且当x=3时，函数有最大值-1，求此函数的解析式；
（2）如图，等边△ABC的边长为9，BD=3，∠ADE=60°，求CE的长．

难度：中等

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4．如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD交BE于点P，BQ⊥AD于Q．
（1）求证：AD=BE；
（2）设∠BPQ=α，那么α的大小是否随D、E的位置变化而变化？请说明理由；
（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

难度：中等

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5． △ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD=60°．
（1）如图1，求证：BD=CE；
（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG=CD，连接HA、HC，求证：∠AHC=60°；
（3）在（2）的条件下，若AD=2BD，FH=9，求AF长．

难度：中等

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6．已知，如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径作⊙O，⊙O分别与其它两边交于点D、点E，过点E作EF⊥AC于点F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为6，求EF的长；
（3）在第（2）小题的情形下，求图中阴影部分的面积．

难度：较难

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7．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD与BE并相交于点F．
（1）试判断AD和BE的数量关系；
（2）请求出∠AFE的度数．

难度：较难

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8．如图1，△ABC中，∠BAC=60°，O是△ABC内一点，△ABO≌△ACD，连接OD．
（1）求证：△AOD为等边三角形；
（2）如图2，连接OC，若∠BOC=130°，∠AOB=∠α．
①求∠OCD的度数；
②当△OCD是等腰三角形时，求∠α的度数．

难度：较难

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9．在直线上顺次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．

（1）如图①，连结CD，AE，求证：CD=AE；
（2）如图②，若AB=1，BC=2，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有DE²+BE²=AE²，试求∠DEB的度数．

难度：中等

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10．如图，点D是等边△ABC的边AB上一点，连接CD并以CD为边等边△CDE，连接BE
（1）求证：AD=BE；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，连接AF，连结AF∥DE，AB=3，求线段CF的长度．

难度：较易

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