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          共50条信息

            • 1． （2015秋•江阴市校级期中）如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证一条我们学过的定理，该定理的名称是    ，请你写出验证的过程．
              难度：中等
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            • 2． 观察、思考与验证
              （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式    ；
              （2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；
              （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
              难度：较难
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            • 3． 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．如图2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=20，则S2的值是    ．
              难度：中等
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            • 4． 勾股定理神秘而每秒，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的”面积法“给小聪明以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：

              将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
              证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，
              则DF=EC=b-A．
              ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
              1
              2
              b2+
              1
              2
              ab．
              又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
              1
              2
              c2+
              1
              2
              a（b-a）
              ∴
              1
              2
              b2+
              1
              2
              ab=
              1
              2
              c2+
              1
              2
              a（b-a）
              ∴a2+b2=c2
              请参照上述证法，利用图2完成下面的证明：
              将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．
              求证：a2+b2=c2．
              证明：连结    
              ∵S多边形ACBED=    
              又∵S多边形ACBED=    
              ∴    
              ∴a2+b2=c2．
              难度：较难
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            • 5． 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
              证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．
              ∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=
              1
              2
              b2+
              1
              2
              ab．
              又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=
              1
              2
              c2+
              1
              2
              a（b-a）．
              ∴
              1
              2
              b2+
              1
              2
              ab=
              1
              2
              c2+
              1
              2
              a（b-a），∴a2+b2=c2．

              请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
              将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ABC=90°．
              求证：a2+b2=c2．
              证明：    ．
              难度：中等
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            • 6． （2015秋•萧山区期中）如图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么每个直角三角形的周长为    ．
              难度：较难
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            • 7． （2015秋•建湖县期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两边长分别为3和5，则小正方形的面积为    ．
              难度：中等
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            • 8． 数学实验室：
              实验材料：硬纸板、剪刀、三角板
              实验方法：剪裁、拼图、探索
              实验目的：验证勾股定理，拼图填空．
              操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①．
              （1）拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和    图③中小正方形的面积，（填“大于”“小于”“等于”）用关系式可表示为    
              （2）拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S大，S中，S小，其关系是    ，用a、b、c可表示为    ．
              （3）拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S大，S中，S小，其关系是    ，用a、b、c可表示为    ．
              难度：中等
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            • 9． 感知：利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图①甲，我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，根据图①乙能得到的数学公式是    ．

              拓展：图②是由四个完全相同的直角三角形拼成的一个大正方形，直角三角形的两直角边长为a，b，b＞a，斜边长为c，利用图②中的面积的等量关系可以得到直角三角形的三边长之间的一个重要公式，这个公式是：    ，这就是著名的勾股定理．请利用图②证明勾股定理．
              应用：我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个完全相同的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图③所示）．如果大正方形的面积是17，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a，b，那么（a+b）2的值是    ．
              难度：较难
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            • 10． （2011秋•舟山校级期中）【定理表述】
              请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
              【尝试证明】
              以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
              【知识拓展】
              利用图2中的直角梯形，我们可以证明
              a+b
              c
              ＜
              		2
              ．其证明步骤如下：
              ∵BC=a+b，AD=    ．
              又∵在直角梯形ABCD中有BC    AD（填大小关系），即    ，
              ∴
              a+b
              c
              ＜
              		2
              ．
              难度：较难
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